Re: [極限]一題
※ 引述《suhorng ( )》之銘言：
: 如 #1FYZd7Nl 這串的回文
: 若θ固定, 那 lim r→0 也是沿著一直線逼近原點
問題:
lim f(x,y) 是否存在, 以及若存在, 其值是多少?
(x,y)→(0,0)
疑問: 轉成極座標, 考慮 r→0, 其方法有無瑕疵?
設 f(x,y) = f(r cos(θ), r sin(θ)) = h(r,θ)
判定:
(1) lim h(r,θ) 不存在, 或雖存在但與 θ 有關,
r→0
則判定原極限不存在.
(2) lim h(r,θ) = L, 與 θ 無關.
r→0
則判定 lim f(x,y) = L
(x,y)→(0,0)
其中(1)顯然是無疑義的,因為那代表取不同路徑時會得到
不同極限, 或(部分路徑)仍無極限, 而這當然代表原極限
不存在.
引起疑惑的是(2).
注意
lim f(x,y) = L
(x,y)→(0,0)
的定義是:
For any ε>0, there exists a δ>0, such that
|f(x,y)-L| < ε whenever 0<√(x^2+y^2)<δ
而
lim h(r,θ) = L
r→0+
的意義是:
For any ε>0, there exists a δ>0, such that
|h(r,θ)-L| < ε whenever 0<r<δ
然而, f(x,y) = h(r,θ), 因此
|f(x,y)-L|<ε 等同於 |h(r,θ)-L|<ε
只要 (x,y) = (r cos(θ), r sin(θ)).
另一方面,
0<√(x^2+y^2)<δ 等同於 0<r<δ
只要 r = √(x^2+y^2).
由此可知, (2)是正確的. 也就是說, (x,y)→(0,0) 的極
限問題, 可以完全改為極座標下 r→0+ 的極限問題.
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