Re: [積分] 虛擬變數微分法?????只能這樣解嘛?補習 …
※ 引述《t0036776 (asking)》之銘言：
: 說明一下背景
: 目前休學補習轉學中，如你所知，新竹那家通往勝利的補習班，想聽王博只能看帶子
: 而只聽正課的我還沒開始看。
: 某天寫考古題寫到
: 97政大國貿 (2)(b)
: int [sin(x)]/[x] dx,x=0..inf
: 網址http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sinx%2Fx+dx%2Cx%3D0..inf
: 卡題，問偉X的老師， 他教我用夾擠，我夾不住。
: 接著便想說朝發散的方向去想，
: 兩個人熱烈討論後的結果是----發散
: 我用上面的網址積積看，收斂至二分之PI
: 找王博的解答來翻， (細說範例6-40)
: 看了之後感覺很傻眼 這方法我看都沒看過
: 感覺有點扯 翻原文書(STEWART ET 6E)也沒看到
: 再來 95台聯大 計算題第7題B
: int (x^3-1)/(lnx)dx,x=0..1
: 網址http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sinx%2Fx+dx%2Cx%3D0..inf
: 王博細說範例6-44
: 這2題的解法看不太懂，把不能積的函數，換上一個變數，變成可以積的函數，
: 然後積完再代數字進函數，變成原題，答案就跑出來了?
: 問題是以後遇到一個我積不出來的函數，我都可以用這種發法做？
: 而且要怎麼剛好把原題改一個變數換成可以積的函數？
: 能用這種方法做的題目要怎麼分類啊？
: 我該看王博，還是算考古題跟原文書呢？總覺時間不太夠
政大那題
Let F(s) = [int e^(-sx)sinx dx,x=0..inf];
[int F(s) ds,s=0..inf]
=[int e^(-sx)sinx dxds,x=0..inf,s=0..inf]
=[int e^(-sx)sinx dsdx,s=0..inf,x=0..inf]
=[int (sinx)/x dx,x=0..inf]------均勻收斂積分，次序可對調-------
故原題=[int (sinx)/x dx,x=0..inf]=[int F(s) ds,s=0..inf]----(a)
其中
F(s)
=[int e^(-sx)sinx dx,x=0..inf]
=[1/(s^2+1)]
帶回(A),得原式=[int (sinx)/x dx,x=0..inf]
=[int 1/(s^2+1),s=0..inf]={[arctan s],s=0..inf}=pi/2
-------------------------------------------------------------
∫= int,inf = ∞,x=a..b a是下限 b是上限
另解
ψ(α)=[int e^(-αx) * (sinx)/x dx,x=0..inf] (α>0),ψ(α)為均勻收斂
dψ(α)/dα //ψ(α)對α微分
= [int (d e^(-αx)/dα)(sinx)/x dx,x=0..inf]
= [int -e^(-αx)(sinx)/x dx,x=0..inf]
= -1/(α^2+1) 將此式對α積分得
ψ(α)=[int e^(-αx) * (sinx)/x dx,x=0..inf]
=[int -1/(α^2+1) dα+c = - arctan(α)+c
取α-->inf，即可得 c = pi/2
故[int e^(-αx) * (sinx)/x dx,x=0..inf]= pi/2 - arctan(α)
再將左右式代入α=0即可得[int (sinx)/x dx,x=0..inf] = pi/2
看不太懂哪一段算式的，可以把那一小段算式貼到http://www.wolframalpha.com/
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.168.27.20
推
03/18 21:23, , 1F
03/18 21:23, 1F