[考古] 成大96年微積分
因為被扣了15分~~所以部份的解答還是有未盡其善之處~~參考囉! orz
初微版的成大考古題缺很大...都沒人發表一下...有錯請指正
-1 x+1 -1
1. 證 tan (-----) + tan x = C (constant) 並求 C 值
x-1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^此部份令為 f(x) => f'(x)=0 得證
將 x=1(x>0), x=0, x=-1(x<0)個別代入 f(x)可求出 C值 Ans:0, 3π/4, -π/4
n n
∞ (-1)(x-4)
2. Σ ----------- 問的是收斂區間和級數和 Ans: (3,5]
n=0 n + 1
2 -1
∫ tan (x/2) dx
-1 0
3. 求f(x)=tan (x/2) 在 [0,2] 的平均值 = ----------------- Ans: π/8
2 - 0
π/2 tanx
4. ∫ ----------- dx (a) x=π/2, lncosx = -∞ 所以x=π/2為瑕點
π/3 (lncosx)^2
(b) 只要令 lncosx = y 兩邊對x微分 => -tanx dx = dy y從-ln2積到-∞
-∞
變成 ∫ (1/y^2) (-dy) 的積分 Ans: 1/ln2
-ln2
→ → →
5. r(t) = (cost + tsint)i + (sint - tcost)j 是位置對時間t的函數
(a)求證速度ds/dt = t 只要將r(t)做一次微分再求其純量大小即為 t
(b)求證其加速度為 切線加速度aT=1 和 向心加速度aN=t 為平方和關係
因此再將 r'(t)微分可得加速度值為 √(1+t^2) = √(aT^2 + aN^2)
6. 找出曲面 z^2 + xy - 2x - y^2 = 1 上所有切點，且其切面要與 z=2平行
因為曲面梯度▽f(x,y,z)= <y-2, x-2y, 2z> 要和 z=2 平行,其法向量(0,0,1)
Ans: 參數式 x=4, y=2 z=t, t(-R
7. f(x,y)= 6x^2 -8x + 2y^2 -5 在區域 x^2 + y^2≦1 的極值?
將區域內 x^2 + y^2 < 1 和 x^2 + y^2=1 分別討論
^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^
無限制叢集求極值 有限制條件求極值(Lagrange乘數法)
Ans: 有極小值-23/3 Ans: 有極小值-7 極大值9
臨界點(2/3, 0) 臨界點(1,0), (-1,0)
2/3 2/3
8. 求 x + y = 1 星芒線(內擺線) 在 x=1/8 的切線方程式 L
(a)可用隱微分方式對上式微分 => 該點斜率 dy/dx |x=1/8 = -3/2
x=1/8 => y= ±(3/4)^(3/2) => L: y=(-3/2)(x- 1/8) ± (3/4)^(2/3) 有兩條
(b)再做一次隱微分，代入(a)中的兩個切點計算出 d^2y/dx^2 的值，會有兩組答案
cos[(x-y)/2]
9. 求∫∫-------------- dA 之值... 這是典型的線性變換重積..
R 3x + y
積分區域 y=x, y=x-π, y=-3x+3, y=-3x+6 6 π cos(u/2)
令 u=x-y, v=3x+y 計算出 |J|= 1/4 變為 (1/4)*∫∫ --------- dudv
3 0 v
Ans: (1/2)ln2
10. 求: 球 x^2 _+ y^2 + z^2 =4 被圓柱面 (x-1)^2 + y^2 = 1 內部 S 所限制部份
的曲面面積
先取上半球 z=√(1- x^2- y^2) 計算z個別對x和y的偏微分 z_x, z_y
由面曲積 = ∫∫√(1+(z_x)^2+(z_y)^2) dσ 再利用極座標轉換 |J|=r
S
積分範圍是 r: 0→cosθ, θ: -π/2 →π/2 求出積分值
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◆ From: 61.62.121.187
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10/05 11:46, , 3F
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10/05 11:48, , 4F
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06/10 01:05, , 9F
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