[積分] 關於wallis公式和Beta函數
π
∫ sin^4(θ)*cos^2(θ) dθ
0
1. 若是利用 wallis:
因為此函數可轉換為 f(sinθ)
π/2
所以原式 = 2 ∫ sin^4(θ)*cos^2(θ) dθ
0
π/2
= 2 ∫ sin^4(θ)*[1-sin^2(θ)] dθ
0
π/2
= 2 ∫ [sin^4(θ) - sin^6(θ)] dθ
0
1*3 1*3*5
= 2 [ (-----)*(π/2) - (-------)*(π/2)]
2*4 2*4*6
3 5
= (---)π - (----)π
8 16
= π／16
2. 若利用 Beta:
π/2
原式= 2 ∫ sin^4(θ)*cos^2(θ) dθ
0
= B(5/2, 3/2)
Γ(5/2)Γ(3/2)
= ----------------
Γ(5/2 + 3/2)
(3/2)*(1/2)*Γ(1/2)* (1/2)*Γ(1/2)
= ------------------------------------
3!
= π／16
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