[請益] 高中數學─不等式部份的題目

看板teaching作者 (vivi)時間17年前 (2009/02/13 13:48), 編輯推噓3(3推 0噓 9→)
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有一個圓柱體，要在柱體表面鍍金。柱體的半徑為r，高為h，請問當h和r的關係為何時，表面為最小？ 我一開始算出來是h=r，不過答案是h=2r，可是我後來代數字進去，h和r好像沒什麼關係，我覺得題目好像有少給條件XD，想請大家幫幫我，謝謝^^ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 122.121.133.132
推
02/13 14:37, , 1F
表面積=2πr^2+2πrh=2πr(r+h)
02/13 14:37, 1F
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02/13 14:38, , 2F
表面積要最小只要r或h越小越好，所以應該是少條件了
02/13 14:38, 2F
推
02/13 15:07, , 3F
我猜是體積固定的情況下
02/13 15:07, 3F
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02/13 15:08, , 4F
如果你直接把表面積式子微分會得到 r=-2h >_<!
02/13 15:08, 4F
推
02/14 00:36, , 5F
假設體積固定為K，2πhr^2=K，表面積=K/h+K/r
02/14 00:36, 5F
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02/14 00:37, , 6F
算幾不等式的極值在r=h時，最小表面積為4πr^2
02/14 00:37, 6F
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02/14 09:47, , 7F
謝謝^^ 看來題目是少條件囉XD 我在想說是不是hr^2為定值XD
02/14 09:47, 7F
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02/15 00:10, , 8F
圓柱體的體積是hπr^2嗎???
02/15 00:10, 8F
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02/15 00:12, , 9F
如果圓柱體體積是hπr^2=K，則hr^2=K/π為定值
02/15 00:12, 9F
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02/15 00:13, , 10F
表面積=2πr(r+h)=2π(r^2+hr)，其中r^2+hr是變動
02/15 00:13, 10F
※ 編輯: t8vi 來自: 140.127.57.223 (02/15 00:15)
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02/15 00:18, , 11F
r^2+hr/2+hr/2大於等於3‧(K/2π)^(2/3)，等號成立時，h=2r
02/15 00:18, 11F
※ 編輯: t8vi 來自: 140.127.57.223 (02/15 00:19)
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02/15 00:19, , 12F
請問這樣對嗎?
02/15 00:19, 12F
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