Re: [請益] tautologically imply?
※ 引述《greprep (烤啦！)》之銘言：
: 最近讀數學邏輯教到tautologically imply這個概念，教科書寫的定義我不是很懂，
: 教授解釋也不清楚，想問一下。以下是課本定義：
: Σ= a set of wffs(well-formed formulas)
: τ= a wff
: Def:Σtautologically impliesτ(written |=τ) iff every truth assignment
: for the sentence symbols in Σ and τthat satisfies every member of
: Σ also satisfies τ. （satifies 是"使其為真"的意思，
: Σ also satisfies τ就是Σ使τ為真。）
不太對, 'satisfy' 在這裡的用法是一個 assignment 與一個set of wffs
之間的關係, 而不是wffs之間的關係。
而一個assignment, 在 propositional logic 中通常是給予每個出現的
propositional symbol 一個真假值, 也就是對應到真值表裡面的一行。
所以當我們說 EVERY truth-assignment that satisfies every member of Σ
(用真值表講就是Σ全為 T 的每一行) also satisfies τ
(用真值表講就是那一行 τ 的真假值也是 T)
所以當你用真值表來做時, 是要去檢查每一行的真假值, 而不是只是第一行。
: 例如，{A, (A->B)} |= B。 註：{A, (A->B)}義同A^(A->B)。在本例中
: Σ={A, (A->B)}；τ= B。
: A｜B｜A ^ (A->B)｜B｜[A^(A->B)]->B
: －－－－－－－－－－－－－－－－－
: T｜T｜ T T ｜T｜ T
: T｜F｜ F F ｜F｜ T
: F｜T｜ F T ｜T｜ T
: F｜F｜ F T ｜F｜ T
這裡也有個小問題。
嚴格來說{A, (A->B)} |= B 與 [A^(A->B)]->B 是不同的,
所以當你算出 [A^(A->B)]->B 的真值表時, 如果它全為 T, 你只是證明
[A^(A->B)]->B 是個 tautology 而不是證明 tautological entailment 成立。
所以如果只是要檢查 {A, (A->B)} |= B, 按照定義你不需要檢查
[A^(A->B)]->B 那一列的真值表, 你只需要看是不是 A ^ (A->B) 為T的每一行,
B都為 T 就行了。
: 我知道整個[A^(A->B)]->B是tautology，但是根據定義，似乎只要真值表第一列就可
: 以推定Σtautologically impliesτ。因為第一列所有Σ的truth assignment 都是T
: ，而且τ也是T，而結果Σ->τ（i.e. [A^(A->B)]->B）也是T，所以Σ|=τ(Σtauto-
: logically impliesτ)，因此不必管其他三列。請問我的理解是對的嗎？謝謝。
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