Fw: [代數] 群的order問題

看板b04902xxx作者w4a2y4 (阿甯)時間7年前 (2016/06/11 17:08)推噓1(1推 0噓 0→)

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群論好難大家期末加油T_T ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1EMsP6_N ] 作者: Giawgwan (教官) 看板: Math 標題: Re: [代數] 群的order問題時間: Mon Aug 29 18:13:22 2011 : 1.Find all groups of order 14 up to isomorphism. : 2.Find all groups of order 15 up to isomorphism. : 我不懂為何出14又出15共兩題 : 差別所在？先不管解法, 前面已經有網友解了, 而且是對的. --------- 但這裡想試著回答文中問到的問題: 為什麼要出兩題, 又出 14 又出 15? 這是非常好的大哉問! 我個人覺得, 這問題要回到更根本才能解決. 而且我想, 在無法體會幹嘛這樣連續問兩題時, 硬背後面的解法 (而且很不簡單) 是沒有什麼意義的. --------- 非常隨便地說, 一個群就是 "一堆東西, 隨便挑兩個出來都可以摻在一起(得到另一個東西)". "東西" 就是群的元素, "摻" 就是群的運算. 精確一點, 書上說, 一個集合 "G" , 有個運算 "*". 此集合的元素在這個運算下有封閉性, 結合律, 有單位元素, 有反元素, 就說 (G,*) 是一個群. (如果 * 省略掉不會造成誤會, 直接就說 G 是一個群). 但這到底是什麼意思???? ---------- 時鐘的時針刻度有 12 格, 我們來轉時針. G= {0,1,2,3,.. 11} 分別代表將時針 {順時針轉零格, 轉一格, 轉兩格, ..., 轉 11 格}. 然後我們規定運算 "+" 是順時針轉: 5+2 表示先轉五格, 再轉兩格. 底下的形容都顯然到像廢話, 但是這些直觀就是群的概念: 1. 轉兩次反正就相當於某個轉: 5+2=7, 8+6=2. 0+6=6. (若 a,b 在群中則 a+b 在群中. 專業術語: 群有封閉性 "closure") 2. (轉兩格+轉三格)+轉五格 = 轉兩格+(轉三格+轉五格) ((a+b)+c=a+(b+c), 專業術語: 群有結合律 "associativity") 3. 有個東西叫 "轉零格"(就是不轉). (0+a=a, a+0=a. 專業術語: 群有單位元素 "identity") 4. 已經轉了五格, 再轉七格就等於沒轉. 5+7=0. (對於 a, 都有 b, 使得 a+b=0. 這個 b 叫做 a 的反元素, 可記為 (-a). 轉時針中, 5 的反元素是 7, 就是說 -5=7. 專業術語: 群的每一個元素有反元素 "inverse".) 所以 G={0,1,2,...,11}= {順時針轉零格, 轉一格, 轉兩格, ......, 轉 11 格} 在 "+" 這個運算之下, 有封閉性, 結合律, 有單位元素, 有反元素. 就是說, 轉時針是一個群. ---------- 不只如此, "轉時針群" 給我們很多啟示: (0) 因為一到 12 就歸零 (8+7=3, 19=7), 故只有 12 個元素 (order=12). 所以這是一個有限群. (1) "先轉五格再轉四格" 等於 "先轉四格再轉五格" 5+4=4+5, a+b=b+a. 所以這是一個交換群. (2) "轉一格" 重複數次可以得到任一個元素 (4=1+1+1+1). 所以這是一個循環群. 總之這是一個 order=12 的, 交換的, 循環群. 群論的符號把這個群叫做 Z_12. ---------- 但是問題是, 還有其他 "order =12 的群". 看這個例子: 對於一個正六邊形, 你可以旋轉或翻面 (然後放回原來位置), 這些動作當然也構成一個群, 而且也有 12 個元素 (一共有十二種放回原來位置的方法.) 但很不幸, 雖然元素一樣多, 但是這個群和撥時針完全不同: 比如 "先轉 60 度再左右翻 " 結果就不會等於 "先左右翻再轉 60 度" 所以這個群不是交換群. 但是轉時針群是交換群, 所以這兩個群結構完全不一樣. 專業術語就是這兩個群不同構 (not isomorphic). 群論的符號把翻轉六邊形這個群叫做 "二面體群 D_6". 上面的解釋告訴我們 Z_12 和 D_6 不同構. ---------- 現在問題就來了. 假設我只知道這個群有 12 個元素 (order=12), 那到底有幾個不同構的群? 回到習題. 所以應該可以體會, 為什麼習題會有兩題: 第一題要找出所有 14 個元素的, 不同構的群.(up to isomorphism 意思是同構不算新的) 第一題要找出所有 15 個元素的, 不同構的群. 顯然 14 和 15 這兩個數字一定有一些本質上的差別. 是的. 繼續往下看. ---------- 一般來說, 我只知道這個群有 n 個元素, 那到底有幾個本質上不同構的群? 傑克, 這是大哉問!!! 答案是什麼? 答案是: 沒有公式. 只能慢慢地分析, 抽絲剝繭慢慢找. 可以看原文回文 Minkowski 網友的解法, 14 和 15 解法很不一樣. 我只能說, n 差一點點, 會差非常多. n=13 時有 1 個 n=14 時有 2 個, Z_14 和 D_7 <---- 習題解答 n=15 時有 1 個, Z_15 <---- 習題解答 n=16 時有 14 個 (!) n=17 時有 1 個 n=18 時有 5 個 ... n=62 時有 2 個 n=63 時有 4 個 n=64 時有 267 個 (!!!) n=65 時有 1 個 n=66 時有 4 個初學群論會學到一些定理, 讓我們快一點. 比如 "如果 n=質數 p, 則只有一個, 而且就是 Z_p". 比如 "循環群一定是交換群" 等等等. n 如果不是質數, 或沒有什麼資訊時, 就非常麻煩. 群論中的 Sylow 定理, 就是用來分析的重要工具, 但是也只能解決一些. 基本上 n 一大時, 而且因數很多時, 真的沒什麼辦法, 到現在都還有學術論文研究中. ----- 群論的一大部分就是在研究群的結構面, 粗淺來說就是把群分類. 原 po 中提到的兩個習題就是問如何把 order=14 或 order=15 的群做完整分類. 群論的另外的一大部分是來研究研究群作用在其他東西上時會發生的事, 這稱為 "群表現論". 不過這扯遠了, 就此打住. 希望這些解釋對學群論的同學有點幫助. 這是一個非常抽象, 也非常實際而美麗的學問. 2011, 森棚教官 -- ********************************* * 雄壯威武嚴肅剛直安靜堅強 * * 確實速捷沉著忍耐機警勇敢 * * 我是教官教官是我 * * 每個人都記嘉獎一支 * ********************************* -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 60.245.77.14

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