Fw: [微積] 泰勒與馬克勞林級數有什麼關係阿

看板b04902xxx作者w4a2y4 (阿甯)時間8年前 (2016/03/19 17:16)推噓2(2推 0噓 0→)

留言2則, 2人參與討論串1/1

查資料的時候找到的覺得寫的不錯大家加減看看吧ˊˇˋ ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1Ezr169b ] 作者: PaulErdos (My brain is open) 看板: Math 標題: Re: [微積] 泰勒與馬克勞林級數有什麼關係阿時間: Mon Dec 26 00:33:07 2011 ※ 引述《sparta40 (該死的斯巴達)》之銘言： : 感覺這兩個級數非常相似 : 所以想了解一下他們的關係 : 可不可以請大大稍微解惑，或是講講古@@ : PS：我實在搞不懂創造這兩個級數有什麼好處多項式是一個很棒的函數好處之一是它可以微分無限多次這種函數應該發予良民證實在太棒了不過就這點而言還不夠特別指數函數、三角函數也都可以發予良民證多項式還有一個好處是比較好代值 13 8 5 譬如說 P(x)＝ x ＋4x －3x ＋ x － 2 如果我們要算 P(3.01) 很煩但起碼能算但像是sin1 就不會算那麼久因為根本不會所以就有個想法當我遇到一個函數的時候我可不可以寫出一個多項式是跟它很接近的呢? 或者至少在我要算的點附近是很接近的譬如說剛剛的sin1 如果我的多項式只能在 [0,2] 很接近 sinx 那也夠用了待我寫出來以後那麼在這所謂的"附近" 裡面就可以把我原來想對那個函數所做的一些事情改對這個多項式做舉凡代入、加減乘除、次方、微分、積分所以當然這個"附近" 便越大越好在這"附近"裡頭我們說這個多項式收斂到那個函數那麼到底要怎麼在a點的附近用多項式p(x)逼近一個函數f(x)呢 ? 首先當然最好能 f(a) ＝ p(a) 再來如果f可以微分的話, f'(a) ＝ p'(a) 就更好了更逼近 . . . (n) (n) 得寸近尺只要f可以微分n次我也希望 f (a) ＝ p (a) 按照這個想法, 就可以寫出 (n) f"(a) 2 f (a) n f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋... 2! n! 你可以等號兩邊代a 看是否相等微分一次以後代a 看是否相等微分n次以後代a 看是否相等於是你便可以知道為什麼泰勒級數長這個樣子用這個就可以很輕易寫出 x 1 2 1 n e ＝ 1 ＋ x ＋ ─ x ＋ ... ＋ ─ x ＋ ... 2! n! 1 3 sinx ＝ x － ─ x ＋ ... 3! 1 2 cosx ＝ 1 － ─ x ＋ ... 2! 而這三個函數的泰勒級數收斂區間都是整個實數 x 我們知道 e 微分以後會等於自己我們現在把它的泰勒級數微分看看 1微分以後是0 x微分以後是1 .... 後面每一項微分都變前一項但它有無窮多項所以真的等於自己你還可以再檢查 sinx的泰勒級數微分之後就變成cosx的泰勒級數 cosx的泰勒級數微分之後就變成sinx的泰勒級數整個多負號不過 (n) f"(a) 2 f (a) n f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋... 2! n! 告訴你的只不過是一般性的做法一般而言只要f可以微分n次我就可以照著操做寫出一個n次多項式來逼近卻不代表 (1) 寫出來的東西會有足夠大的區間有可能寫出來卻發現只在一個點逼近 (2) 只能這樣寫事實上我們還是可以根據不同的函數用不同的方法寫出多項式出來 Brook Taylor提出他的理論是1715年的事情然而十七世紀那些微積分先鋒們 -1 就已經寫出 sinx cosx tanx 等等函數的多項式展開各自用了些奇奇怪怪的辦法不過我們不需要會一些奇招怪技只需要會一些很基本的辦法 1 譬如說 ── , 除了用那個一般性做法 1－x 2 n 也可以直接寫出 1＋x ＋x ＋ ... ＋x ＋ .... 為什麼呢?　因為那就是無窮等比級數的和呀從此還得知了收斂區間就是 (-1,1) 1 那麼 ─── 呢 ? 1＋2x 1 把它看成 ──── 就可以了也就是說用-2x代在x 1－(-2x) 2 所以就是 1＋(-2x)＋(-2x) ＋ ... ㏑(1＋x) 呢 ? 1 它就是 ─── 的積分嘛 1＋x 2 3 所以先寫出 1－x ＋x －x ＋ .... 2 x 然後積分出 c＋x －─＋ ... 2 因為㏑(1＋0) ＝ c＋0＋0＋.... 可以得知c＝0 2 x 所以就寫出㏑(1＋x) ＝ x －─＋ ... 2 那如果是sinxcosx 呢 ? 可以各自展開以後再相乘 sin(2x) 也可以看成 ──── 所以從sinx的展開代2x 再整個一半 2 -1 1 tan(x) 呢 ? 它的微分是 ─── 嘛 1＋x^2 再舉個例子 tanx－sinx lim ────── x→0 x^3 一個方法是乖乖地羅必達三次但我們也可以寫出它們的泰勒展開變成 3 3 x x (x＋─＋ ...) － (x－─＋... ) 3 3! lim ─────────────── 不必展太多項 x→0 x^3 1 1 1 馬上就看出答案是 ─ ＋ ─ ＝ ─ 3 6 2 大概是這樣 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.233.127 ※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.233.127 (12/26 00:34)

推

ntust661

12/26 00:57, , 1^F

12/26 00:57, 1^F

推

manoeuvre

12/26 01:02, , 2^F

12/26 01:02, 2^F

→

sparta40

12/26 01:20, , 3^F

12/26 01:20, 3^F