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【我的數學夢】卅年未覺數學夢
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作者曾居住過的的台東賓朗,舊名檳榔。(圖片連結引用自網站「車迷的世界」)
■ 你是否想過,高中數學老師版的《追憶似水年華》會長什麼樣子?在這篇充滿幽默與
辛酸的投稿中,任教數學三十年的作者描述了許多看似微不足道的小事,讓我們窺見近半
世紀來台灣數學教育的轉變。
撰文 ∣ 江慶昱(退休數學教師)
「金雞鶴立在山岡上…」1965年某日早晨,我坐在往賓朗村的公車上,背誦著作文。
今天我有穿球鞋。
一直就讀賓朗國小,而後搬家到台東市內。因為是班上數學資優生,老師希望我不要
轉學,於是我通車了。也因此買了球鞋,班上只有少數幾個同學穿得起球鞋。
這是個物質缺乏的時代,也是所謂惡補時代,早上不是上數學便是考國語。記憶中,
有一張非常大的數學考卷,我考了99.5分,老師在前面上課,我坐在後面的椅子上,幫老
師刻鋼板。其實我蠻享受這樣的「惡補」。
這時候離1957年蘇聯史普尼克號(Spunik)升空八年,剛好趕上1964年新數學吹起的
號角。
1966年五月,我到台東中學考試。蔣中正先生一聲令下,國民中學的時代即將展開,
然而我這屆要上初中還得考試。出了考場,一下子冷汗冒了出來:算面積時三角形CEF重
疊的部分忘了減掉了(請參見文末註1)。第一次與排容原理較量,算是敗陣下來,心裡
清楚得很。
初中教我數學的蔡老師,認真的神情一直在留在記憶中。因式分解與幾何證明的奧秘
使我深深入迷。然而另一位英文老師,說他教書是副業,主業是養鹿,這說法讓我困惑不
已。
高中生活
1969年順利直升高中,這時候市面上大概有兩本參考書,《徐氏數學》到現在還熱賣
。高一下教數學的周老師,是我三哥的高中同學,據說在女中教書時只敢看地板、黑板、
天花板,號「三板先生」。周老師非常認真,經常印講義給我們練習。可以說,從小學、
初中到高中,我遇到的數學老師都是負責、熱情的老師。可能也代表這個時期的台灣精神
。
我常到社教館看書,看《大眾科學》、《國際現勢》。後來聽人說,這時候台灣的科
學資訊落後美國五十年,落後日本三十年,不知是否屬實?
這時候,我也受到新數學荼毒。群、環、體的代數根本囫圇吞棗,向量空間一知半解
。
台東的師資嚴重不足,我高一上的數學老師是成大礦冶系畢業的,課本內「根號二是
無理數」證完了,我滿腹狐疑地舉手發問:「根號三是無理數怎樣證明?」老師不會證明
。據說社會組的數學老師是日本東京大學畢業的,但是不可以問課外的東西。
這時候,有一題考古題是這樣的:三個集合A,B,C,若A=B,B=C試證A=C。我們可以從考
題看出數學教學的演化史,並且探討數學教育的成敗。台灣在美國宣布新數學失敗後還實
施了幾年。(註2)
聯考前夕
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1939年的鯉魚山,由河床照去一片荒涼。(圖片出處/國家文化資料庫)
1972年六月三十日,我到鯉魚山讀書,忽然一張紙在地上,映入眼簾。一張蔣經國先
生的青年節文告「青年人的義務感與責任心」。當天晚上,我就這題目寫了一篇文章。第
二天便是大學聯考,第一節考的就是國文,考卷發下來,作文題目正是「論青年人的義務
感與責任心」。這個時期作文題目還是八股文類型,無意中「猜」到題目,使我非常震驚
。第二節考數學,cos60°竟想了5分鐘才想出來。
出了考場,我再度冒出冷汗,最後一題計算題是累進稅,函數要設成:
f(x)=a|x-x1|+b|x-x2|+c|x-x3|+...
這個樣子,但我把b漏了。因此儘管所有科目中,我的數學最強,得分卻最差。
這時期學生在考前得先填志願,我與另兩個同學填的志願完全一樣。回家後,一個念
頭一直徘徊不去:「我不是喜歡數學嗎,為什麼沒填數學系?」於是把整個志願表大塗改
,把數學系寫進去,第二天教務處的先生二話不說,給我一張新的志願表,我猜我命中注
定是要念數學系的。
1972年,我進入台大數學系。
大學生活
當時念大學,只有兩個科目要點名:體育課與國父思想課。體育老師說,人必須要有
強健的體魄,所以不可以蹺課,聽起來有道理。至於國父思想課與地質系合上,老師把各
班編組,輪番上台,由學生講課,也無法蹺課。老師坐在一旁,顯得非常輕鬆,算是一種
詭計。
當時倒也有一些課是無須點名的,國際現勢課程,學生坐到窗台;社會學課更是座無
虛席。意外的是,中國通史課程內容是餐飲,「吃」遍大江南北,由知名教授授課,期中
考前講一課,期末考前講一課,中間就是「獅子頭」云云。有天老師不知是否有感而發,
搖頭晃腦說:「莫道書生空議論,頭顱擲處血斑斑。」我竟然在書上寫下:「書生平時空
議論,臨事一死了之。」
這時期開始有所謂資優生跳級制度。在那個時候,楊維哲教授常說:「我今天要刮鬍
子,因為要見蔣經國先生。」楊先生很樂意寫一些書,例如線性算術。
這時候台大數學系有一個奇怪的想法,例如:甲老師微分幾何比較弱,就請他上微分
幾何課,以增強老師的功力。
我一直喜歡純數學,所以修了數理邏輯、高等數論、微分幾何等等。數學史的課程開
在晚上,也是讓學生輪番上台報告,然後老師給評語。因為修了數理邏輯(集合論與數學
基礎),所以我選講「邏輯發展史」,坦白說,報告得不好。而老師給我的評語是:「我
們不是在『gossip』。」當時對我打擊很大。影響所及,數學史的知識都是後來自修的。
這時候,黃武雄先生到彰化中學長駐,充滿數學精神的試驗本數學於焉展開。而我正
值大一大二,因為不小心墮入愛情陷阱,功課像拋物線下墜。大二暑假,眼看這麼下去數
學就要夢斷,才決心與女友分手。大三成績往上爬升,但為時已晚。畢業後,美國石橋大
學(Stony Brook University)只給了我入學許可,家裡實在貧窮,只能飲恨。
當時我曾寫一封信給在蘇黎世念心理學的二哥,言下之意,這輩子要念數學、物理、
哲學。有一天,我坐在數學系圖書館裡面,看著滿架的書,神情肅穆,心裡想:「要把這
裡的書讀完。」現在回想起來,初生之犢,實在可笑。
人生抉擇
1978年,我從海軍陸戰隊退伍,這時我有兩個選擇,去中研院或者到中學任教。先到
中研院,遇見李國偉先生,他說了甚麼我現在都忘了。只記得一句:「分析是主流」。而
劉豐哲先生非常體貼,他說「你只要忠於數學」。
到了明道中學,校長汪廣平的熱情讓年輕的我受寵若驚,於是我在明道中學帶起一班
高中生。明道高中分模範班、普通班。我帶普通班,一開始幾年,普通班不管自然組或社
會組都全軍覆沒,我跟學生說:「我們程度沒那麼好,英文讀一本就好。」但學生還是堅
持要跟模範班讀一樣多本。
後來,班上四個同學考上大學,他們數學最低分是39分,不知道是我的教學成果,還
是補習班的功勞。
不久,我訪問賴東昇先生,給《明道文藝》寫了一篇文章。我問了一個問題:「實驗
本數學的缺失何時修定?」答案是:遙遙無期。所有的事業都是經費堆成的。賴東昇先生
告訴我說:「你就在中學待個三、四年再出國吧!」
我的數學夢還在燃燒呢。
1980年某天,我的同事老方說:「幫我這一題做做看,做出來我請你喝一碗綠豆湯。
」題目是這樣的:
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1
(1) 試證 2[√(n+1)-√n]<──<2[√n-√(n-1)] for n>=1
√n
10^n 1
(2) 求[ Σ ──]=
n=1 √n
這一題出自Tom M. Apostol 的《Calculus》第一冊第41頁。老方在第二題卡住了,
裡面有點小技巧。我不到二十分鐘就做出來了。這碗綠豆湯是喝定了,我很愉快地跑上樓
,把老方從教室中拉出來。
第二年,我到補習班幫差,做聯考解答。這時期大學錄取率不到30%,補習班非常競
爭,補習班請了大約七個人做解答。拿到題目,發現竟是去年解過的那題,一字不漏。我
心想,出題的教授實在太混了。
更早一點,有一個題目是這樣的:求
2 3
f(x)=── + ──
cosθ sinθ
的最小值,這是社會組的考題。傳言說,出題者在《數學傳播》季刊上看到這一題,然後
就出現在大學聯考上,是社會組數學的題目。但後來《數學傳播》做了勘誤更正,應該是
2 3
f(x)=─── + ───
cos^2θ sin^2θ
,用柯西不等式算。但這個題目無論如何是不應該出給社會組學生做的,因為他們沒學過
微積分,用其他方法解又非常艱難。
投身教育
賴東昇先生告訴我說,應該到國外學電腦或數學教育。雖然感謝他的建議,但我最終
並沒有這麼做,反而在心裡懷疑,即便是我學了數學教育回來,對台灣的數學教育有幫助
嗎?能力挽狂瀾嗎?恐怕未必。
1971年,我轉到立人高中教書,心裡對數學還是掛念著,有一次與教我邏輯的老師碰
面,身上還帶著一本微分幾何筆記。
既然不再想著出國的事,不久,我到某教育學院修習教育學分,開始了我三十年的教
學生涯。但是很快地我發現,所謂的教材教法、電腦輔助教學、教育心理學等等,幾乎都
與現實完全脫鉤,無法派上用場。
1985年,我轉到衛道中學教書。衛道中學採取菁英教育,如果你贊成「虎媽」教育,
你也會贊成衛道中學的教育。在這裡,老師兢兢業業,很不錯。但凡事都以升學為考量,
是非善惡不在考量之內。
每次數學科開會的主題之一都是:「如何改善命題?」我做了這樣的建議:考前每題
做得分預測,考後每題記錄實際得分,接著做兩次資料的相關係數。我自認這方法很科學
相當可行,但始終無人贊同。
過去三十年來,各種場合我都一直舉手、提問、建議,但很少有正面回應。一直不明
所以。
難忘數學夢
前一陣子,修習佛學的師父跟我說:「廣慈啊,你每一念都是第一念。」當下有點暗
喜,誰不喜歡第一?師父接著說:「第一念就是無明。無明就是愚痴。」我終於明白,也
許就是愚癡吧。
最近九九數學綱要又做了一個大轉變,台灣的數學教育何去何從?台灣數學教育有進
步嗎?我看到許志農先生在龍騰的書上說:「我們就面對它,接受它,處理它,放下它吧
。」這一次,我決定不舉手發問了。
我一直喜愛數學,數學夢一直沒斷過。每一個生命的重要階段,峰迴路轉,也許是一
種宿命,如果我大一沒有談那場戀愛,或許我不會在這裡…。總之,這是否算是「落魄江
湖載酒行,卅年一覺數學夢」呢?這幾年皈依佛法,師父說我這輩子被數學害了。精確的
意義一時還不太明白,不是說:一切法都是佛法嗎?
上輩子沒修功德,這輩子沒福報,下輩子除了佛法,讓我再好好做數學吧!一切有為
法,如夢幻泡影,如露亦如電,應作如是觀。請菩薩原諒我的執著。
作者註釋
1. 1966年初中考試的數學題目,請見右圖:
http://case.ntu.edu.tw/blog/wp-content/uploads/2011/05/image001.gif
2. 新數學是什麼?
http://210.60.226.25/science/content/1980/00010121/0006.htm
英文維基百科上的新數學:
http://en.wikipedia.org/wiki/New_Math
Why Johnny Can’t Add: The Failure of the New Math
http://www.librarything.com/work/1068138
王九逵:集合論與數學教育
作者介紹
民國64年畢業於台大數學系。本名江慶昆,肖馬。健康的馬連睡覺是站著的,所以最近改
名叫江慶「昱」。
我數學的學習歷程,以及後來教書的過程,恰巧經逢台灣四十多年來數學教育的演化過程
。這是我寫本文的出發點,當然這些都屬個人見解。我的homepage:
http://home.educities.edu.tw/kuen/
責任編輯:MissZoe
本文為CASE專題「我的數學夢」連載第五篇。
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