[心得] 學測數學三級分到微積分滿分

看板Transfer作者baxiche (血蝶)時間4年前 (2019/08/26 16:58)推噓16(16推 0噓 11→)

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雖然第一志願落榜，但想留下一點什麼，給將來踏上這條路的人參考，也給將來的自己一個檢視自我的機會。 BTW.這標題是騙你的。因為我從數學3級分到微積分滿分中間經歷了兩年的重考。這篇文章不會提及重考的經歷（沒什麼參考價值，如果想知道重考相關的可以再站內我），僅陳述準備轉學考的過程與方法。以下將會分為幾個主題：經歷、前言、用書、念書方法、補習經驗以及收尾的雜談。互不獨立，內容會在各個主題都摻雜一些。因為我廢話很多，所以稍微分類一下：有些主題底下有分支，都會用數字及中括號標出。標題前＊越多（最多五個），表示內容參考價值越高；沒有＊表示可以整個跳過（比如經歷）。【人權】（去年沒考，今年才開始準備）台聯：微100物72國64英40 （如果你放棄英文就會像我一樣落榜）台師：微100 台綜：略之所以選擇台聯不是台大，除了覺得一個普通的人類台大微A不可能拿60分之外，還有考量我文科太爛，以為可以靠專業科目加權就能上榜。但事實證明了，即使是台聯也不能放棄文科。就像今年因為微積分太簡單，上榜的幾乎都是滿分，最後比拼高下的還是落在文科上。但話先說在前頭，不要問我時間分配與考古題的用法QQ，因為一來我到六月底才讀完微積分（只讀了一遍）。二來我考古題幾乎完全沒寫，千萬不要學我Q。．．．【經歷】那就容我先贅述一下自己吧，原本是連為什麼為了數學系這糞系（？）重考兩年+轉學兩年的原因都想寫，但一來大概沒人想看，二來我發現無論怎麼寫，都很難用文字完整傳遞我的心境改變，也許這個當下，我仍然不知道自己為什麼選擇這條路。我想推薦本書，雖然跟轉學考無關，但如果你想知道自己為什麼要追求夢想，我相信這本書會給你很大的助力：《羊與鋼之森》。它不會直接告訴你答案，而是引導你去找到屬於自己的解答。給不知道自己的夢想在哪裡的你，也給正在追尋夢想的你。我今年大二升大三。在大一的時候，我丈著自己曾經重考，對自己的實力相當自負。不論是課業，或是人際關係。下場是微積分二被當掉，GPA2.x，系上能稱得上是朋友的用手指數都嫌太多。我想在此感謝我所有的大學同學及老師們。如果沒有遇見你們，我一定會再次因為自己的自負而失敗。是你們讓我開始反思，我想要的到底是什麼、我到底想成為什麼樣的人。雖然解答並不好找，但是如果沒有進嘉大，我壓根不會注意到這些事，謝謝你們。至於我想轉學，以及想唸數學系的原因，就借用《吹響吧！上低音號》劇中的一段話（想瞭解你自己嗎？那就去看吧）。「私、特別になりたいの。他の奴らと、同じになりたくない。だから私は、トランペットをやってる。特別になるために。」．．．＊＊＊＊＊【前言】在重考班的時候，我的數學老師說，學習數學最重要的，就是掌握住三個原則。第一個知其所以，你要知其所以然。很多同學在高中時代學數學的時候，你知道這樣做，但是為什麼這樣做？打比方說，現在給你一個不定積分的題目，積分技巧有那麼多，你怎麼知道選哪一個來做？選擇用分部積分法的話，要選誰當u誰當dv？判斷級數斂散性要選哪一種檢驗法？如果用p級數做為比較級數的話，p值要選多少？我相信絕對有同學這些通通都是用背的，那如果考試的題目是你沒見過的，是不是當場就陣亡了？如果說一個數學老師能夠分析到說是，你怎麼知道、為什麼知道都一清二楚的話，那不管題目怎麼樣變化，你都可以把它抓住。再來第二件重要的事，就是要掌握東西的「型態」。型態包含的事情有好多好多，像一條公式的本身就是一個型態了。打比方說，一個不定積分的題目，凡是出現a^-x^2、x^2+a^2以及x^2-a^2這些型態的時候，你就要想得到三角代換法。又比方說e^x的泰勒展開式：1+x+x^2/2!+...，除了用這條公式求極限、無窮級數和之外，當你看到，一個無窮級數，它一般項的分子是「x的升冪」，而且分母「出現階乘型態」的時候，你就要想到這可能跟e^x有關（歷屆裡面最極端的例子，可以參考105台聯）試想今天同學丟個題目過來，你解完了之後，同學問「你怎麼想到的？」，欸這問題還真不好回答對吧？標準的答案就是「我看出來的」，怎麼看出來的？型態牽引你看出來的。數學程度不錯的同學，對型態的掌握能力通常都很不錯，可以試著觀察看看身邊的強者是如何思考問題的。．．．＊＊＊【用書】（以及一些讀書經驗）一．我曾經看到版上有文章提出一種論點：「考試是考試，唸理論是唸理論，兩者的用書當然不一樣，要準備轉學就是看轉考的書就對了，完全不用看原文書」。坦白講，這觀念真是對極了（對"數學"以外的科目，尤其是物理），但是微積分你想這樣讀？很抱歉，不可能的。數學的學習，知其所以，一定要知其所以然，一個題目，你知道這樣做，但是為什麼這樣做？要怎麼想到這樣做？如果不明就理的背題型，那考試出了一個陌生的題目，你就只能僵在那動彈不得了。這也是我認為必須看原文書的理由之一。原文書不論是定義、定理或是例題，都會用文字盡可能描述其中的原由。就算是原文書，某些地方還是寫的不夠詳盡，需要自己慢慢推敲的地方比比皆是，你怎麼能期待用一本「考試講義」就讀通所有的觀念呢？（更何況是觀念有問題的書：）下面這個例子，應該可以很好的說明知其所以然的重要性，有興趣的可以試試看。這是今年台灣師範大學數學系微積分的最後一題（證明題）。考試的當下寫到倒數第二題的時候，坦白說真的覺得被羞辱了。因為實在太簡單，根本不用動腦。但是我看到最後一個題目的時候，我就知道我錯了。這一題出的真是拍案叫絕，我認為是除了台大之外今年轉學考微積分最有水準的一題。那你說是因為它很難嗎？不，它非常的簡單，但是題目全部卡在基本觀念上出題，你只要有一點觀念稍微模糊，就不可能拿滿分，題目如下： https://imgur.com/4NzVmlj

二．今年的書單（跟轉學考直接相關的）。（１）關於讀書方法：＊＊＊＊＊《大腦喜歡這樣學》這是我認為準備轉考前，非讀不可的書，以下只要提到讀書方法的，全部都是抄襲自這本書，稍後再提及裡面的核心觀念。（２）微積分：＊＊＊《Thomas Calculus》我今年微積分有補習，但是補習班給老師的堂數實在是太少了，向量微積分的深度不如我的預期。在五月中旬的時候我就決定把原文書向量微積分的部分全部看完，直到六月中旬才完整的唸完微積分第一遍。最後的觀念全部是靠這本建立起來的，寫的清楚明瞭，可以搭配台大微積分期考題一起服用，會有奇效。＊＊＊＊＊（英文的學習方法）這是題外話。常有人問我看不懂原文書怎麼辦？現在我的英文程度<1200單，但是一樣看的懂原文書。我認為學英文最重要的，既不是文法也不是單字，而是「語感」。因為單字不會可以查，文法不會也可以查。我很喜歡nightblue3、moe等人，每天一定會花時間看他們的youtube影片。我用這些影片培養語感的方式是這樣的：先開中文字幕看一遍，盡量去聽他們說了些什麼英文，第一遍沒辦法全部聽懂沒關係，重點在於「聽見」他們說了些什麼。然後把中文字幕關掉，開英文字幕看第二遍。這時候的重點是，「聽懂」他們說的話。英文程度不好的，這一步可能會很痛苦，如果中間發現自己有某個英文單字或片語忘記中文意思的話，千萬不要開中文字幕，絕對不要開，試著利用前後文還有看第一遍時的回憶，努力的「回想」這個字是什麼意思，給自己的腦袋一點時間（我給一個字的時間是三到五分鐘），真的想不起來的話再去查中文解釋。最後一步，把所有的字幕關掉。這一步等於是融合前兩步，除了要利用耳朵去回想他們說了些什麼字，還要在腦中回想這個字是什麼意思。基本上一部影片，我只要完全聽懂八成就會把它結束了。這些過程適用於任何的內容，美劇、電影、新聞等等，都可以利用這個方法訓練自己的語感。＊＊＊《微積分聖經》觀念清楚的一本書，如果讀通，有些極限跟級數斂散性的問題可以秒解。前面基礎數學的部分，程度不好的可以作為預備知識，程度佳者可以當作高中數學的複習。但我不建議單啃這本書，老實說如果沒有葉銘老師帶著我唸，我不認為自己一個人可以唸通這本書，如果沒補習的話，搭配原文書是不錯的選擇。＊＊＊《大學微積分》趙文敏著約民國76年出版，全繁中的微積分書，我認為台灣沒有比這本更好的中文微積分書了。好的地方在於，作者在各章節開始前會非常清楚的說明章節的目標，還有各章節之間的關係。每一個微積分的定理，都會附上定理的直觀意義（以及完整的證明），而且在定理與定理之間的連結關係上著墨甚深，對於建立完整的觀念幫助非常大。但缺點是其中的定義太過數學，如果不是數學系剛開始看可能會很吃力。而且例題過少及艱澀，習題也對數學系以外的同學非常不友善，對準備轉學考而言相當不利。如果想找來看的要能夠自己分辨哪些需要觀念精讀而哪些捨棄不看，並且輔以其他習題較佳。＊《高中數學自然組第4冊》東華書局約民國68年出版，這本書對於我極座標觀念的養成有極大的幫助，特別是極座標中 r<0 的定義，以及作圖的手段。找不到這本書也無所謂，但是極座標的定義、作圖等等務必要熟練到變成反射動作。（比如說， r = a+bcos(theta) 表示的圖形是蚶線，什麼時候會「凹進去」？什麼時候會「凸出來」？什麼時候裡面會有小圈圈？又比方說， r = 1-cos(theta) 圖形是心臟線，因為是減號所以它的「屁股」在左邊等等）（以下論點非常主觀，不喜勿入）－＊＊＊＊＊《微積分學習要訣》極度不推薦，就給他負五顆星好了。介紹極座標時，不免要討論兩極座標圖形的交點座標。我忘記是哪兩個圖形了，書中解交點的方式居然是畫圖代特別角。起初我以為是篇幅的關係所以在書上省略解法，結果本書作者今年在社團放了一個影片，內容是他本人親自解圖形的交點，居然就是用畫圖的。你說這有什麼問題？畫圖就畫圖啊～～～那我問你，如果交點的幅角不是特別角怎麼辦？？那你是不是代一輩子都代不出來？？又比方說，書中有一題成大的歷屆，判斷級數斂散性的問題。書中的解答居然用結合律來判斷（書中稱為將兩項合併為一項分析），各位千萬要注意，一個無窮級數在你不知道收斂或發散之前，是絕對不可以用結合律的！不是不可以，是絕對不可以！！你不信的話，試試對這個「發散」的無窮級數用結合律看會發生什麼事：sum (-1)^n。再比方說，向量微積分這個單元裡，向量函數的面積分一共有三種型式，三種分別對應不同型式的曲面（函數、參數式以及隱函數），這三種型式的面積分公式都不同，而且都可以互相推導。 Thomas Calculus把這整個脈絡寫的一清二楚，什麼時候用哪種型都有詳細的分析。但要訣僅有一種（參數式），並且完全沒分析曲面型式跟面積分的關係，對面積分的觀念建立極為不利。以上僅是列舉幾個非常離譜的例子。同位作者的歷屆詳解中，106台師大數學系微積分第五題，判斷級數斂散性的問題，解答用了Ratio test之後，極限算都沒算就說等於無窮大，所以級數發散。但事實上，那個極限值<1，所以由Ratio test可得，原級數收斂。某題台聯大的歷屆，求α之值使得 (1-cosx)/x^α這個函數在0到無窮大的瑕積分為收斂。解答我真的看不懂在寫些什麼，最後隨便挑個數字就當作解答。按個計算機就能知道錯了。奉勸微積分想要考滿分的，在初學建立觀念時絕對不要看這本書。當然如果是作為題庫本練習那無可厚非。但裡面的解答，我認為參考價值低落（趨近於零）。但是，如果你看完上面的想法是「我到底在寫三小？？？」，完全不能認同我對這本書的評價的話，那我建議你，馬上去弄一本來看。念書這種事本來就是非常主觀的，也許你看了之後覺得他寫的極好，那恭喜你，你找到了一本適合自己的書。看書絕對不是聽別人覺得好的就盲目的去啃，別人認為好的，你不一定覺得好；別人覺得寫得爛的，你未必跟他有同樣的感受。你必須經過自己的消化，才能確定那本書是不是能夠帶給你成長。（３）物理：《李怡嚴物理》：極度不推薦，看了你就知道為什麼：）＊＊＊＊＊《大學物理學精要》＊＊＊＊＊《費曼物理學講義電磁學》：精要不用解釋。費曼這本書，是劉宗儒老師今年上課推薦的。連結向量微積分與電磁學的書，寫的最直觀好懂的絕對非它莫屬。直到看完這本書後，我之後才算真的了解向量微積分的物理意義究竟在講些什麼。如果覺得向量微積分好像虛無縹緲，抓不到頭緒的話，非常值得一讀。不用整本讀完也無所謂，我覺得光是第一章前半部講述向量微積分的部分（作為電磁學的預備知識）就有極大的幫助。．．．＊＊＊＊＊【念書方法】一．「讀書」拿到一本書，我一定先看作者序（推薦序通常會跳過），因為大部分的作者序，會寫明這本書想要達成的目標，也可以看做是整本書內容的濃縮。我會把序作為認真細讀前的暖身，就像運動前的暖身操，不僅可以預防受傷，也可以讓自己更快進入狀況。（精要的序我看了好幾次，每多看一次就越感受到作者的用心良苦。讀《精要》作者序不落淚者落榜！）至於內容，我自己是這樣讀的：先弄一本自己翻了覺得順眼的原文書，然後就從頭開始啃他。但是中途如果有看不懂的部分，不要懷疑，我會直接跳過，如果看到後面發現有需要前面知識的話再往前翻。因為看書的時候「卡住」是浪費時間而且沒有效率的。這個時代的人，空檔非常的零碎化，不論是否準備是準備考試的書，我都是這麼讀，細節可以參考《如何閱讀一本書》。但每個作者可能因為學派等等的原因，或多或少都會有些主題寫的「很奇怪」，當然這個「很奇怪」的感覺是很主觀的，這種時候我就會去借其他作者的書，讀那個我覺得奇怪的章節。如果還是不懂就再找下一個作者，直到差不多懂了之後就開始做習題。雖然各個作者的習題大同小異，但還是建議多看，不一定要全消，覺得自己懂了就可以。至於要測試自己懂不懂的話，可以試著去回答其他人的問題，如果回答的過程中發現自己講的怪怪的，那多半是有地方沒弄清楚，就再回頭找出自己的盲點（在這裡跟被我騷擾過的同學們道歉Q）。二．「讀」書在英文的學習方法中提到「回想」的概念。事實上在腦中「回想」，是不論學習任何的東西，最重要的過程。很多同學慣用的念書方式是「反覆閱讀」，這已經被研究證實，是「完全沒用」的方法（除非你一邊反覆閱讀一邊回想），因為回想的過程就等於是再次學習，在腦中回想的畫面越清晰，語句越通順，就表示你學的越清楚。我相信你一定有這種經驗，有個東西你覺得自己學得超好的。但是別人問你相關的問題，你正要回答時，卻感覺腦袋好像塞住了？這種感覺不是別的，正是你沒學清楚的證明。試著把「別人問你」改成「考試」，是不是讓你回想起考試時腦袋塞住完全無從下筆的回憶了？實際步驟是這樣的：每當你學到一個新的定義或定理，先專注的吸收書上的內容，「專注」之後，讓子彈飛一會兒，去做些讓自己放鬆的事（去運動、騎車、洗個澡、換個地方念書、聽首自己喜歡的歌或是演奏一首自己熟悉的曲子，重點是這些放鬆的是必須和你方才專注念的東西不一樣）。經歷專注到放鬆之後，先努力的回想專注時所讀的內容，回想完畢後再進行一次專注到放鬆再回想的步驟。最初練習時一定會很痛苦，但是如果不管別人怎麼問你，你都可以用自己的語言把東西解釋得一清二楚，那你就是真正理解了「然」。當別人問你問題，當下腦袋塞住了。但是過一段時間，可能是同學問完問題之後，你靈光一閃，突然知道該怎麼解釋了！我相信這種經歷應該不會比腦袋塞住的次數要少，為什麼這種狀況會發生以及回想學習法為什麼有效，《大腦喜歡這樣學》都有詳細的解釋。簡單來說，要將一個東西學的透徹，需要經過「專注」以及「發散」（就是放空腦袋）兩個過程不斷交錯。人類的大腦很神奇，當你透過專注把資訊輸入腦子裡之後，再把專注力從這個資訊抽離，大腦會繼續幫你消化這些內容，當然你要反覆複習才不會讓新觀念消失，如此就可以輕鬆的把新觀念深植在腦子裡了。善用這個大腦的特性，我相信習慣了之後讀書會變成既簡單又有趣的事。三．我怎麼作習題？以下完全抄自《大腦喜歡這樣學》，非常的違反直覺，但我微積分能拿滿分，就是這樣練習的：（１）先拿著筆，從頭到尾做完「一道」重要題目，不可以作弊，不可以省略步驟，要確認每一步都合理。（２）接著，再做一遍，但要留意其中的解題細節（為什麼想到這樣做？怎麼想到這樣做？）（３）去做別的事，也可以讀同一科，但要做與前兩步驟不同的事，你必須讓發散模式有時間把這個問題放進你的內心。（４）睡覺。但記得睡前再做一次這個題目，如果卡住，先別急著看解答，嘗試讓你的「直覺」帶領你。（５）隔天起床再做一次。這次應該很快就能做出來，甚至你會不知道為什麼昨天的自己覺得它很難。到了這個階段，你可以省略一些步驟，把焦點放在你覺得這個題目最難想到或最難處理的地方，這就是「刻意練習」。（６）做一道新的、類似的題目，並且重複步驟１～５，直到你非常有把握為止。你會發現，單單是幾道題目，就可以非常有感的加深你對內容的理解。（７）進行「動態重複」，一邊走、騎車、等紅綠燈時、等待老師進教室的空檔等等，在腦中回想題目跟解題步驟。以上七個步驟就是我讀完一個主題之後如何作習題的方式，詳見《大腦喜歡這樣學》。．．．【補習經驗】１．微積分：我最先開始是報台北班的王博，聽兩堂就不聽了，趕快逃去台中補葉銘的課。也許是轉學考跟研究所處理的人不一樣，之前看過有很多人抱怨偉文的行政差，但我跟報名人員說我想逃去台中的時候，她很快的就幫我處理好了，教材也沒有拖。看起來像業配，不過我真心覺得不錯，想知道是哪個人幫我報名的可以再站內我（偉文也可以站內我喔，我也想領５００）。逃去台中之後，果然發現自己選對了。求極限的公式、瑕積分、級數歛散性等等，上課時都分析的一清二楚。這幾個主題實在太出色，今年級數的問題全部都是秒殺，我相信這塊很難找到更強的老師了。２．物理：我是補劉宗儒的物理課，我認為劉宗儒最強的地方在於，除了物理觀念分析的一清二楚之外，還會用很多日常生活中的例子來比喻一個抽象的物理概念，這不只幫助我理解，也加深我的記憶。比如說將電感比喻成一個保守派的人，電容比喻成一個激進派的人。當電容與電感同時裝再一個交流電路裡，如果是電容性電路，那電流就會領先電壓，因為電容是激進派；如果是電感性電路，因為電感是保守勢力，所以要維持沒有電流的狀態，此時電流就會落後電壓。這類的比喻充滿了整個課程，尤其是電磁學以及近代物理，讓我考完到現在都還記得，希望沒有辦法上課的人，也能透過這種譬喻的方式，把物理學的更好。【雜談】其實該講的都講完了，也沒什麼好談的，但我今年做了一件事是沒什麼人提到的，就是多追蹤教授的臉書。有很多對教育有熱誠的教授，都會在自己的臉書上發表一些想法，這些想法除了幫助你增廣見聞之外，有時候對考試也有奇效。比如我很早就知道 e^it*f(x)（i是虛數單位）的意義是把 f(x)在複數平面上做「旋轉」，但是我一直沒搞懂其中的原因是什麼。直到我看到成大資工系蘇文鈺教授，在天下雜誌的文章：「【蘇文鈺專欄】『用不到、不用學』？三角函數可以不用上？」。裡面有一句話這麼說的：「更麻煩的是 Complex Exponential（歐拉公式）要怎麼具象解釋呢？三角函數與Complex Exponential拿掉，那麼傅立葉轉換以及接下來的餘弦轉換也不必教了。」很神奇吧？就這麼一句看似無關的話，就點醒了我為什麼乘上e^it的幾何意義是平面上的旋轉。．．．如果你看到這裡，我想問你：為什麼你想要轉學？你跟未來有約定嗎？抑或你想找回初心？給你自己一個跟夢想對話的機會，夢想不會背叛你，因為夢想一直再尋找你。（這是我準備轉學考這一年聽最多的歌） https://www.youtube.com/watch?v=sdAYxmGDToU

特別感謝:嘉大應數的彭老師、林老師葉銘老師、劉宗儒老師台中偉文的徐同學、陳同學，葉學長、蔡學長每次跟你們討論問題時總是能夠發現自己的盲點，謝謝你們。大微網以及劉明昌微積分社團中，曾經發問跟回答問題的每一個人，沒有你們願意丟問題出來討論，我是不可能拿滿分的。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.236.69.63 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Transfer/M.1566809909.A.CBB.html ※ 編輯: baxiche (36.236.69.63 臺灣), 08/26/2019 17:33:21

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panda0315

08/26 17:42, 4年前 , 1^F

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dyja1616

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dyja1616

08/26 17:54, 4年前 , 3^F

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