[情報] 99年微積分C 第3題(ii 另解

看板Transfer作者birjonathan (ㄚㄅbir)時間14年前 (2011/07/07 02:39)推噓6(6推 0噓 4→)

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A = sin( x^2)cos(y^2) dydx B = sin(y^2)cos(x^2) dxdy Prove that A=B (Sol): 證明A=B即証明A-B=0 即可 A-B=∫∫ sin(x^2)cos(y^2) dydx - ∫∫sin(y^2)cos(x^2) dxdy =∫∫ sin(x^2)cos(y^2) dydx - sin(y^2)cos(x^2) dxdy (和差化積) =∫∫sin(x^2 - y^2)dxdy (極座標轉換x=rcosθ y=rsinθ dxdy=rdrdθ) 2π 1 =∫ ∫sin[(rcosθ)^2-(rsinθ^2)]rdrdθ 0 0 2π 1 =∫ ∫sin(r^2cos2θ ) rdrdθ (半角公式可得) 0 0 2π 1 =1/2∫ ∫sin(r^2cos2θ )dr^2dθ ( 1/2rdrdθ = dr^2dθ ) 0 0 2π r=1 =1/2∫ [-cos(r^2cos2θ)/cos2θ] dθ 0 r=0 2π =1/2∫ [-cos(cos2θ)/cos2θ] dθ 0 2π =1/2∫ [-cos(cos2θ)/cos2θ](1/2)d2θ ( dθ= 1/2d2θ) 0 2π =1/4∫ [-cos(cos2θ)/cos2θ] d2θ(泰勒展開cosθ=1-cosθ^2/2!+cosθ^4/4!-..) 0 2π =-1/4∫ (1/cos2θ) [1-(cos2θ)^2/2!+(cos2θ)^4/4!-....] d2θ 0 2π =-1/4∫ [sec2θ-(cos2θ)/2!+(cos2θ)^3/4!-....] d2θ 0 2π =-1/4[(lnsec2θ-tan2θ)-sin2θ/2!+(sin2θ-sin^3θ/3)/4!-.....] 0 =-1/4[(ln1-ln1)-0+0-0+........]= 0 => A-B=0 =>A=B *故A=B得證 # 小弟最近想到這個方法讓大家參考一下希望有幫到要考試的人囉只剩倒數幾天拉祝大家考試順利金榜題名囉顆顆! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 123.193.245.23 ※ 編輯: birjonathan 來自: 123.193.245.23 (07/07 02:43) ※ 編輯: birjonathan 來自: 123.193.245.23 (07/07 02:45) ※ 編輯: birjonathan 來自: 123.193.245.23 (07/07 02:46)

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