[問題] 獨立性 Sheldon Ross 11th Ed Example 3.28
Sheldon Ross, Intro to Probability Models 這個例題 3.28 中的
「奇妙」同分布的「巧合」，似乎有個很簡單的轉換 (transformation;
or mapping) 可以來解釋，或至少是提供一個觀點。
我現在卡在證明這串轉換之後的 r.v. 是互相獨立的, 不知道怎麼有效處理。
請各位提供意見，謝謝~
U_i are iid unif [0,1] , i = 1, 2, 3 .... going on indefinitely
N == min{ i, such that U_i > U_{i-1} } , 首次出現「上升」
M == min{ i, such that Sum{ U_i} > 1 }, 首次數列合超過一
There's a seemingly coincident fact that N and M have the same
distributio; exactly the same term by term.
Define W_i == D_i * I{ D_i >= 0 } + U_i * I{ D_i < 0}
其中 D_i == U_{i-1} - U_i 是前後項的差值
底槓是下標的意思
I{ blah } is the indicator function that is 1 (one) when the
'blah statement is true, and 0 (zero) when it's false.
基本上，W_i 就是差值 D_i (如果 U_i 比前一項小), 不然
就是 U_i 本身(如果 U_i 比前一項大).
這樣構造 W_i 的原因是為了要
let N == 首次出現「上升」in U_i ,
one can see this same N also will have Sum{ W_i} > 1, 首次數列合超過一
where W_i is constructed from U_i as defined above.
定性的描述，就是可以看成 U_i 數列的每一項都表示「剩餘的量」，
譬如說地球上的石油資源，打手機的通話分鐘，或是打電動的血量之類的。
U_i 每一項都「不幸」下降的話，就是有消耗資源，而 W_i = D_i 表示
消耗的量(大於零)。
U_i 「首次出現上升」就是這一項使用太多，資源耗盡，破表之後變號翻轉，
U_i 本身就變成消耗的量而不是剩餘的量。
最後這一項 W_i = U_i 就不再是差值而翻轉成 U_i 本身，
而 U_i 「首次出現上升」就對應到 W_i 加總超過一，破表，使用超過儲值。
One can define an auxiliary zero-th term U_0 == 1 so that W_1 can
also be defined with the above equation:
W_1 = 1 - U_1 always.
so far so good, 所以我需要證明 W_i 這一串本身是 iid unif。
It’s easy to show that each W_i is unif [0,1].
The tricky part is to show the infinite sequence W_i is
mutually independent, not just pairwise independent.
我有考慮說把 W_i 兩兩成對，三三成組，四四成隊 …etc 一直下去的
jont density 實際寫出來，用 U_i 來表示，然後看說能不能拆成幾項相乘
然後辨認說是各自的 W_i，然後再argue 說可以一直下去更多項。
可是這樣太蠢了吧 …. 一定有別的方法的。
把 W_i = f( U_i )寫成矩陣，好像也沒什麼幫助.....
要怎麼證明這一串 W_i 是互相獨立的呢？ 好困難啊....
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