[問題] 證明，有關樣本變異數
條件：X_bar=(X1+X2+...+Xn)/n 且Xi為iid，期望值為μ，variance為σ^2
我知道E(X_bar)=μ
也知道E(X^2)=σ^2+μ^2
今天要證var(X_bar)=σ^2/n
我初步的想法就是把它化成
E(X_bar^2)-[E(X_bar)]^2 來算
不過要如何求 E(X_bar^2)？
我先講一個算出來應該是錯的的算法
E(X_bar^2)可寫成 (1/n^2)*E[(X1+X2+...+Xn)^2]
(1/n^2)*E[(X1+X2+...+Xn)^2]
=(1/n^2)*E[(X1^2+X2^2+...+Xn^2)]
↑(我想應該是錯在這步，雖然我想用iid的特性來說明E(Xi*Xj)=0，但是這樣用不行吧？)
=(1/n^2)*E[X^2]*n
=E[X^2]/n
= (σ^2+μ^2)/n
不過這樣帶回去E(X_bar^2)-[E(X_bar)]^2=var(X_bar)的式子就會是錯的
希望可以知道錯在哪裡
以及正確的解法
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.212.81
※ 編輯: warex14 來自: 140.114.212.81 (03/03 01:59)
推
03/03 02:23, , 1F
03/03 02:23, 1F
→
03/03 02:24, , 2F
03/03 02:24, 2F
→
03/03 02:24, , 3F
03/03 02:24, 3F
→
03/03 02:25, , 4F
03/03 02:25, 4F
→
03/03 02:26, , 5F
03/03 02:26, 5F
→
03/03 02:26, , 6F
03/03 02:26, 6F
謝謝goshfju的建議，因為題目出成
var(X_bar)=E{[X_bar-E(X)]^2}=...=σ^2/n
(第一個等號應該算hint吧？)
所以我就把他先拆解，之後就發現不會了...(因為以前證的都是用g大提供的方法)
→
03/03 12:40, , 7F
03/03 12:40, 7F
感謝！我在Hogg的數統上看到了！(糟糕都還給老師了)
再次謝謝
※ 編輯: warex14 來自: 140.114.212.81 (03/03 21:37)
※ 編輯: warex14 來自: 140.114.212.81 (03/03 21:52)