[問題]兩個高峰值的平均間隔已刪文
在一本書《統計與真理》中看到一段話，摘錄如下：
……大多數動物種類的總數，粗略地說，是以三年成一週期的，也就是說，某種
動物總數相鄰的兩個高峰間的時間間隔，平均約為三年……如果注意到當等間隔
地劃分隨機數時，相鄰兩個高峰間的平均間隔接近３。實際上，這一性質很容易
被下述事實所證實：任給一組三個隨機數中，中間一個數比其餘兩個數大的機率
成為三分之一。因此，這就給出了上述問題中兩個高峰值平均間隔為三的答案。
這本書的作者是大師級人物，他輕描淡寫的「因此」，我卻覺得不太顯然，只好
花一段時間去思考和計算，結果用兩種思維卻算出兩種不是3的答案...orz
一種是：
固定一個local max，令其index為0（所以這隱含假設a_1<a_0）找下一個local
max的index平均大小，討論V字型兩翼的的長度後，等於要計算無窮級數：
inf inf
sum sum (j+i)*[ 1/(j+i)*1/(j-1)!*1/i! - 1/(j+i+1)*1/(j-1)!*1/(i+1)! ]
j=1 i=1
化簡的答案卻是(e^2-1)/2
另一種是：
根據上述，相鄰兩個local max間有且僅有個local min, 討論任一個local min
和下一個local max平均距離（也就是V字型的一翼）再乘以2就可，得到：
inf
2* sun (k+1)*1/(k+2)*1/k! = 2(e-1)
k=0
都離3不遠啦，但終究都不是3...不知道有沒有人能給出3的簡明看法，或者提供
算出來的答案……假如是3的話，能否稍作說明。 <(_ _)>
補充：
任給一組n個隨機數中，中間一個數比其餘兩個數大的機率成為1/n……這個論斷的是建立在「這n個隨機變數是iid」，至於具體的分布則不限制，只要滿足「機
率」的條件就好。稍微改變模型，比如「下一個取的隨機數機率分布函數是以上
一個為中心的對稱分布」，則一組三個隨機數中，中間的數比其餘兩個數大的機
率成為1/4...這樣不難計算出相鄰兩個峰值的距離期望值成為4！
這是巧合嗎？或者大師的一句話其實是更深刻結果的特例？
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.121.227.153
※ 編輯: gg 來自: 203.121.227.153 (03/20 00:21)
推
03/21 18:33, , 1F
03/21 18:33, 1F
→
03/21 18:33, , 2F
03/21 18:33, 2F