Re: [問題] 機率論 有關 動差生成函數
※ 引述《helloboy (小悟)》之銘言：
: 1. Suppose that the mgf of a discrete r.v. X is given by
: M(t)=1/8 e^t + 3/8 e^(√2)t + 4/8 e^(√3)t
: Let Y=X^2 , find (1) the pdf of Y .
: (2) the cdf of Y .
因為X是離散型隨機變數
從 m.g.f. M(t)=1/8 e^t + 3/8 e^(√2)t + 4/8 e^(√3)t
我們可以知道 X 的p.d.f.為 f(x)= 1/8 ,if x=1
= 3/8 ,if x=√2
= 4/8 ,if x=√3
所以 Y 的p.d.f.為 h(y)= 1/8 ,if y=x^2=1
= 3/8 ,if y=x^2=2
= 4/8 ,if y=x^2=3
所以 Y 的c.d.f.為 F(y)= 0 ,if y<1
= 1/8 ,if 1<=y<2
= 4/8 ,if 2<=y<3
= 1 ,if 3<=y
: 2. Let the discrete r.v.s X and Y have joint mgf
: M(t1,t2)= 2/12 + 3/12 e^t2 + 2/12 e^(t2+t2) + 2/12 e^t1 + 2/12 e^(t1+t2)+
: 1/12 e^(t1+t2+t2)
: (1)find the marginal pdfs of X and Y
: (2)Evaluate P(X+Y=1)
: (3)Evaluate E[XY]
: t1 t2 是代表有下標 (t1+2*t2)不好打所以用(t1+t2+t2)表示!!
: 我們機率論現在學到動差生成函數 遇到這種題目!! 實在是不知道該如何下手
: 希望可以有人提示個方向!! 謝謝^^
因為 X, Y是離散型的 且已知 joint m.g.f.
所以我們可以直接得到 X,Y的joint p.d.f. 為 f(x,y) 用表格表示為下
Y╲X ｜ 0 ｜ 1 ｜
-----------------------
0 ｜2/12 ｜2/12｜
-----------------------
1 ｜3/12 ｜2/12｜
------------------------
2 ｜2/12 ｜1/12｜
(1)
按照定義 marginal p.d.f. of X is f(x)=Σy f(x,y) = 7/12 ,if x=0
= 5/12 ,if x=1
marginal p.d.f. of Y is f(y)=Σx f(x,y) = 4/12 ,if y=0
= 5/12 ,if y=1
= 3/12 ,if y=2
(2) P(X+Y=1)=P(X=1 and Y=0) + P(X=0 and Y=1) = 2/12 + 3/12 = 5/12
(3)照定義 E(XY)=ΣxΣy x*y*f(x,y)
= 0*0*2/12 + 0*1*3/12 + 0*2*2/12 + 1*0*2/12 + 1*1*2/12
+ 1*2*1/12
= 4/12
其實這種給定離散型的 MGF 沒有很難
大多只是問你"看不看的出來" X,Y給你的joint p.d.f. 是什麼東西 就幾乎結束了
我想 你們是第一次遇到動差 感到很陌生 很奇特 為何會有這種東西?!
所以 還是先把動差的"定義"熟記 你應該可以比較容易看出 joint pdf了
將來越交越多 你就會知道 MGF是非常不錯的工具
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