[討論] 雙曲線的參數式

看板SENIORHIGH作者cktmac (五月飛雪)時間15年前 (2009/04/06 23:52)推噓6(6推 0噓 19→)

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高中課本中會提到 x^2 y^2 雙曲線 ─ －─ ＝ 1 的參數式為 x＝asecθ , y＝btanθ a^2 b^2 2 2 不難理解直接由 secθ－ tanθ＝1 再驗證secθ值域為 (-∞,-1]∪[1,∞) tanθ值域為 R 所以解題時直接使用是沒有問題的大概只有賴打書這種程度的傢伙會用挑剔θ幾何意義的方式來拒絕接受自己的失敗不過也沒關係如果一定要追根究底地問究竟θ的幾何意義為何可以參照這個比較清楚這裡有圖 http://iask.sina.com.cn/b/4489787.html?from=related 雙曲線有另一種參數式是使用雙曲函數 x -x x -x e － e e ＋ e sinh(x)＝ ───── , cosh(x) ＝ ───── 2 2 e是自然對數的底其值大約是 2.718281828459045 x x 其特色是 e 對x微分以後仍是 e 這是 Euler 在做微分方程的問題時發現的故取其第一個字母 e 來作為這個數的記號雙曲函數與三角函數可類似地定義 sinh(x) 故 tanh(x)＝ ──── ... etc cosh(x) 2 2 依定義不難驗證 cosh(x) － sinh(x)＝1 看又是長這副德性我們現在拿雙曲函數來當作雙曲線的參數式 (其實早在"雙曲函數"這名稱就爆雷了) 來討論 cosh(θ) 與 sinh(θ) 中 θ的幾何意義剛剛說過雙曲函數與三角函數可類似地定義在推導雙曲函數的半角、倍角等公式與導函數等等皆可先寫下三角函數的公式然後仿照地寫皆是類似的現在先來看三角函數的θ 我們知道一個單位圓可用 x＝cosθ , y＝sinθ 當參數式因此三角函數又可稱之為圓函數圓周上動點座標皆可以三角函數來表達 θ很顯然就是該動點所處之角度等一下等一下我們來看圓周上動點P 、圓與正x軸的交點A 所圍成的扇形＿＿︵也就是說 OP、OA 和 PA 圍成的扇形此扇形面積為 1/2 θ 因此也可將θ改定義為：扇形OAP面積的兩倍現在回來看雙曲線參數式雙曲函數中的θ 右半邊的頂點 A 、動點 P 與原點O θ正好就是 OAP 這塊區域的面積的兩倍證明過程需用到積分就先不寫了 -- 清大純牛肉，獨特醬料加生菜，起司洋蔥酸黃瓜，芝麻麵包蓋上去。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.243.42

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blueberrypie

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