[問題] 3維空間的Ricci純量曲率&高斯曲率之差異

看板Physics作者 (z)時間1年前 (2023/01/28 18:52), 1年前編輯推噓9(9推 0噓 19→)
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https://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann–Lemaître–Robertson– Walker_metric#Reduced-circumference_polar_coordinates https://reurl.cc/91jXjj 在算Robertson-Walker metric 的3維空間部分的瑞奇Ricci純量曲率 R， 經過幾小時奮戰，得到 R=-2k 我以為答案會是 R=k，或者至少 R=2k 才會比較一致。 啊！sorry！ 我想起來，大概是Riemann 曲率張量不同定義會差個負號， 但是差個2的factor，不知是為什麼？ 記得以前好像看過有人問過，但是沒仔細算過， 所以稍微瞄一下，就掠過了。 剛剛搜尋標題曲率 及 google ptt & 高斯曲率都沒找到舊文 有人知道為什麼嗎？先謝過 其實我還沒檢查2維球的Ricci 純量曲率&高斯曲率是不是也是 差2倍，BUT 還是先問一下再說。 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1674903129.A.2A4.html
推
01/29 15:05, 1年前 , 1F
我用mathematica package得到的Ricci scalar是6k
01/29 15:05, 1F
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01/29 15:06, 1年前 , 2F
你要不要再檢查一次你的計算看看
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01/29 15:07, 1年前 , 3F
另外二維曲面的Ricci scalar跟Gaussian curvature
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01/29 15:07, 1年前 , 4F
的確是差兩倍沒錯。可以參考維基的條目：
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01/29 15:08, 1年前 , 5F
01/29 15:08, 5F
若我之前計算沒錯，算2維球其實很快，不用5分鐘 我算2維球Ricci scalar R=-1/r^2 窘，居然沒2倍，我先去翻書一下。 看了一下那網頁，它的曲率跟我用的書差了 overall minus sign 大概知道錯在哪裡，曲率指標有些交換是反對稱& 對稱的， 我只算獨立的一次貢獻，可能要算兩次，翻書去。 翻了Sean Carroll：Spacetime & geometry， p132~133 (p.324 他把 κ 稱作normalized measure of scalar curvature) p.332， k normalized to 1,0,-1 (後來發現Calloll 把非零的Levi-Civita connetion 都列出來了) 發現我算錯2個地方 Γθ φφ=-sinθcosθ 我少了負號， 還有(3.157)我漏了R_θθ的貢獻，所以2維球 Ricci scalar curvature=2/r^2 BUT (3.4)曲率跟維基差了負號，那答案為何都是正號？ 傷腦筋 應該先算簡單的2維，再算3維才對 BTW Robertson-Walker metric 是最大對稱空間嗎？ 是的話，應該更好算 ※ 編輯: topstr (118.165.5.65 臺灣), 01/29/2023 16:50:08 ※ 編輯: topstr (118.165.5.65 臺灣), 01/29/2023 17:23:51
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01/29 17:26, 1年前 , 6F
抱歉，說錯了，維基的純量曲率跟Carroll的是一樣的！
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01/29 17:27, 1年前 , 7F
沒差overall 負號
01/29 17:27, 7F
推
01/29 17:51, 1年前 , 8F
我的另外一個疑問是你要怎麼定義三維空間的Gaussian曲率
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01/29 17:52, 1年前 , 9F
就我的理解是它是只在二維曲面上定義的
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推
01/29 17:58, 1年前 , 10F
FRW metric不是maximally symmetric spacetime
01/29 17:58, 10F
感謝，總算算對了！ 我再查一下，因為maximally symmetric space in 3D scalar curvature = 6k ※ 編輯: topstr (118.165.5.65 臺灣), 01/29/2023 19:25:33 sorry，回太快 記錯 https://arxiv.org/abs/hep-th/9902131 (1)~(14) 以前有瞄過，但沒仔細check。 好像只有AdS 跟 dS 時空，宇宙學常數跟純量曲率會長得很漂亮 我也不知道怎麼定義3維"曲面"的高斯曲率，但最上面網頁裡 https://reurl.cc/91jXjj 的確是寫 " k is then the Gaussian curvature of the space at the time when a(t) = 1" ※ 編輯: topstr (118.165.5.65 臺灣), 01/29/2023 19:55:14 我說錯 先不管FLRW metric 是不是max. sym. spacetime 我是要問它的空間部分 Reduced-circumference polar coordinates 是不是maximally symmetric spacetime ? ^^^^ space 我猜是，因為Reduced-circumference polar coordinates for k=1 可以化為標準3維球的度規 猜n維球Ricci scalar curvature R =n(n-1)k https://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_curvature n-spheres The sectional curvature of an n-sphere of radius r is K = 1/r^2. Hence the scalar curvature is S = n(n-1)/r^2 我查一下微分幾何關於曲率公式先 不過廣義相對論跟宇宙學書都把k 稱為高斯曲率， 作者難道會沒想過3維以上高斯曲率要怎麼定義的問題嗎？ ※ 編輯: topstr (118.165.5.65 臺灣), 01/29/2023 20:14:39 ※ 編輯: topstr (118.165.5.65 臺灣), 01/29/2023 22:02:41
推
01/29 22:16, 1年前 , 11F
空間部份哪來的symmetric space-"time"？symmetric space
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01/29 22:16, 1年前 , 12F
定義就那樣不是嗎？
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筆誤啦！ 3維(空間)子流形部分是max sym space see Dubrovin,Fomenko,Novikov；Modern geometry II p.377 在講 FLRW model only 3 homogeneous,isotropic,simply-connected, 3D Riemannian mfd. with isometry group G of 6 dim., namely, 3維球，3D歐式空間，3D雙曲空間
推
01/29 22:28, 1年前 , 13F
是不是maximally symmetric spacetime 得看Killing Vect
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01/29 22:28, 1年前 , 14F
or ，要是n維會有n(n+1)/2的independent Killing Vector
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01/29 22:28, 1年前 , 15F
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01/29 22:31, 1年前 , 16F
其實wiki上寫那個k is then the Gaussian curvature是cl
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01/29 22:31, 1年前 , 17F
arification needed，我有稍微找一下高維的FLRW metric
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01/29 22:31, 1年前 , 18F
，他說是k是宇宙的curvature，所以這一段你可能還要再翻
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k是3維空間的曲率，你去問做宇宙學的人就知道了 1999年發現宇宙加速膨脹，......，得到空間是平坦k=O的結論 國內報紙就寫愛因斯坦彎曲時空是錯的， 這是把4D 時空曲率跟3D 空間曲率搞混結果
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01/29 22:31, 1年前 , 19F
一下資料
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同上reference Modern geometry I (第一冊)p.257 定義n dim. mfd 上的 n-1 dim 超曲面的 "curvature form" K dV = K |g|^1/2 dy1^ dy2^....^dy(n-1) g=det g_ij 度規之determinant n=2， K is 曲線之曲率 n=3， 曲面高斯曲率 n=4， K 為 所求 n can be large than 4 好累，先睡了
推
01/29 22:54, 1年前 , 20F
高維度空間沒有談Gaussian curvature的吧，通常會是
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01/29 23:00, 1年前 , 21F
sectional curvature，max. symmetric space應該能保證。
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猜Dubrovin書定義的curvature form 跟sectional curvature 有n(n-1)項貢獻是一致的
推
01/30 16:15, 1年前 , 22F
那就基本上是Gauss-Bonnet的那些東西，KdA的面積分+κds的
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01/30 16:17, 1年前 , 23F
線積分+θ的「點」積分=2π,三項都可以看成是 KdV的積分。
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感謝分享 算黎曼曲率張量時就可以發現只需要算rθrθ，rφrφ，θφθφ 3項就好，in 3D θrθr可以用度規相乘給出，這3項就剛好是截面曲率要算的那幾項， 再除以2向量所圍面積平方，有空再check 正交單位向量rθφ任兩個張出來面積應該是1
推
02/03 11:30, 1年前 , 24F
有 Grant Unified Theory 前，我們先需要一個 Grant Uni
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02/03 11:30, 1年前 , 25F
fied Notations
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連數學書上符號也沒統一，沒強制性 例如古典微分幾何曲面間映射φ的isometry ， do Carmo 用dφ，O'Neill用φ_*， 物理上用座標變換的Jacobian矩陣 ※ 編輯: topstr (118.165.11.24 臺灣), 02/04/2023 11:06:28
推
02/04 14:56, 1年前 , 26F
不過這裡三個符號其實是同一個東西的三個面向。有點像導
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函數的各種表示法。
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一個強調微分，一個強調pushforward，一個強調矩陣作用。
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