[問題] The variation of metric

看板Physics作者 (光太狼)時間2年前 (2022/03/20 02:57), 2年前編輯推噓1(1推 0噓 16→)
留言17則, 3人參與, 2年前最新討論串1/1
最近在算g_{μν}的variation 發現一件奇怪的事 一般我們都定義δ g_{μν} / δg_{αβ} = δ^α_μ δ^β_ν （先不論有無symmetrize 結果） 那根據g^{μν} g_{μν}=dimension of space time， 對這個Lorentz scalar做variation 應該會是零，所以δ g^{μν} / δg_{αβ} = -g^ {μα} g^{μβ} 那根據這個結果對 g_{μν} a^{μν} 和g^{μν} a_{μν} 這兩組同樣的scalar用δg _{αβ} 變分，就會分別得到+a^{αβ}和-a^{αβ}，不一樣的答案 想知道這變分到底哪裡出錯，為何會得到contradictory的結論？ 詳細見下圖： https://i.imgur.com/yOJMat7.jpg
-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 47.20.59.170 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1647716274.A.B0E.html ※ 編輯: QuantaWolf (47.20.59.170 美國), 03/20/2022 02:58:14
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會有這個問題是我實際去算δ L / δ gμν 想得到某
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個Lagrangian 的symmetric energy momentum tensor的
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時候發現的，怎麼想也想不通實際上哪裡出錯
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應該是因為你的最後一行的左邊是fix a_{\mu \nu} 然後
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對 g_{\alpha \beta} 做 variation。但是你最後一行右
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邊是fix a^{\mu \nu} 然後對 g_{\alpha \beta} 做 vari
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ation。所以你兩邊的variation意義不一樣。要比較的話
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你右邊的式子應該要把a^{\mu \nu}視為function of g_{\
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alpha \beta} and a_{\mu \nu}。因為metric的值會影響r
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aising & lowering indices的結果。
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推
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原因是因為有metric藏起來沒有微到所以少了一些項
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例如如果你的a_{\mu\nu}如果跟metric無關(say,
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field strength)，那麼a^{\mu\nu}就會跟metric有關
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所以藏著的那些inverse metric貢獻的項都沒算到
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一個經典的例子是去算算電磁學的energy-momentum
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tensor，你變分完檢查一下是否traceless，就知道其
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中一個對另一個算法錯，而問題也出在藏著的metric
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