[問題] 函數內積為何能用積分表示?

看板Physics作者 (路克天醒者)時間2年前 (2022/03/01 23:56), 2年前編輯推噓4(4推 0噓 21→)
留言25則, 5人參與, 2年前最新討論串1/1
目前我的理解是 function 可視為infinite-dim vector 而inner product of two vectors是vector component 兩兩相乘再相加 如果應用在function上的話 inner product of two functions 可以等於兩函數相乘再積分 https://i.imgur.com/TaQivnY.jpg
我的疑問是為什麼可以函數內積可以用積分形式表現? 因為Riemann Sum會多一個dx出來，就像下面這圖問的 https://i.imgur.com/DQlX3N3.jpg
我看網路上有很多這類的問題 但每個解答都不太一樣..... 而且看完還是不太了解在寫什麼@@ 所以想請問這部分有甚麼比較layman的解釋嗎? https://bit.ly/3Hss6fX https://bit.ly/3svnAcj https://bit.ly/35HUhKA 先感謝各位大神! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.140.31.243 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1646150215.A.C1B.html
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所以functional的inner product跟你當成離散vector然後取
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inner product 還是不完全一樣啊
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inner product只是個代數操作 滿足某些基本性質就好 並不
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必要定義上是唯一的 https://reurl.cc/QjOQG5
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只是對於function 取離散vector的方式有無窮多種阿 不加乘
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上一個dx 根本不是well-defined的(除非一開始定義的時候就
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指定要取哪些點 但那樣的話 定義出來的inner product不一定
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有甚麼很大的用處)
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推
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低維向量一樣有Δx在啊。只是剛好都是1。十維向量就有9個
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Δn，差一個而已不要太計較。
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但還是不能把finite vector的innter product跟functional看
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成一樣的阿 後者是取dx趨近0的極限
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推
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是的。但是只要一個外行解釋的話，我傾向訴諸直覺式類比
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。這個詮釋不嚴謹，但應該能給人一種感受，吧。
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推
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我們可以定義內積空間(inner product space)，它只要
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滿足某些性質就是內積，而且它可以over C 或 R 之類
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的。然後今天其實兩邊就是不太一樣的東西，然後這還
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是其中的一種內積的定義，所以只能說他拿你熟悉的東
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西去做對比(就是左邊的式子)事實上不能直接說是相等
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的
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看過不嚴謹的從離散到連續Fourier變換推導
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感覺dx藏在離散Fourier定義中了？
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*修正是Fourier級數
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推
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如果你是擔心單位的話，通常物理上會有一個normalization
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factor
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感謝板上各位大神的提點! 不然我一直鬼打牆 想dx從哪裡冒出來的Orz ※ 編輯: LukeSkywaker (223.140.251.108 臺灣), 03/04/2022 01:11:43
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