[問題] operator以及product rule

看板Physics作者 (霍爾的偶爾才移動城堡)時間2年前 (2021/06/26 15:55), 2年前編輯推噓7(7推 0噓 52→)
留言59則, 7人參與, 2年前最新討論串1/1
關於operator math的優先順序，我一直默認為「由右至左」，從未想過要用product rule ，於是有了以下的疑問： https://i.imgur.com/xtm54Gg.png
-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.115.144.146 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1624694131.A.951.html ※ 編輯: movingcastle (59.115.144.146 臺灣), 06/26/2021 16:00:22
推
06/26 17:35, 2年前 , 1F
類似Δf_n(x)，你是想算f_n(x')-f_n(x)
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06/26 17:35, 2年前 , 2F
還是f_{n+1}(x)-f_n(x)？
06/26 17:35, 2F
感覺兩者都不像欸 但是謝謝V大
推
06/26 17:57, 2年前 , 3F
06/26 17:57, 3F
感謝K大 ※ 編輯: movingcastle (223.137.46.54 臺灣), 06/26/2021 21:26:03
推
06/27 13:59, 2年前 , 4F
都要看成operator的話，就當成 (dQ/dt) = [d/dt, Q] 之類
06/27 13:59, 4F
感謝w大 請問這邊指的是commutator嗎
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06/27 14:00, 2年前 , 5F
以上d都是partial
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06/27 14:02, 2年前 , 6F
退一步來看，暫時先忘記我們在做QM，當作純粹的數學練習
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06/27 14:04, 2年前 , 7F
令 f = f(r, s), Q = s d/dr
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06/27 14:04, 2年前 , 8F
你覺得 d/ds (Q f) 應該怎麼做？不就書上那樣嗎？
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推
06/27 16:28, 2年前 , 9F
把 d/dt 跟 Q 當成 operators A 跟 B 的話，我們可以寫
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06/27 16:28, 2年前 , 10F
成 ABf = (AB-BA+BA)f = [A,B]f + BAf。我們知道 [A,B]
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06/27 16:28, 2年前 , 11F
= [d/dt,Q] = (dQ/dt)，這一項代表我們對Q這個operato
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原來commutator有這個運用！ 但是為什麼[d/dt,Q] = (dQ/dt)為真？ 是否假定 [d/dt,Q] f = d/dt(Qf) - Q (df/dt) 又假定函數f=f(x)非時間函數，則df/dt =0? 這裡限制f沒有time dependence，但是書上的 Ψ = Ψ(x,t)有時間dependence，如此一來 以上的等式不就不成立了嗎
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06/27 16:28, 2年前 , 12F
r取時間導數，然後得到一個新的operator dQ/dt。我們也
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06/27 16:28, 2年前 , 13F
知道 BAf = Qdf/dt。所以就算都當成operator，我們還是
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06/27 16:28, 2年前 , 14F
可以得到 ABf = d/dt Q f = (dQ/dt)f + Q(df/dt)。這
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06/27 16:28, 2年前 , 15F
邊的 ABf 仍然是理解成B先作用在f，A再作用在Bf上。只
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06/27 16:28, 2年前 , 16F
是我們用AB-BA+BA的AB-BA項得到(dQ/dt)。所以 ABf 跟
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06/27 16:28, 2年前 , 17F
原po圖片的第一條式子並不衝突。
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感謝o大解說！
推
06/27 16:30, 2年前 , 18F
簡單來說就是 ABf = [A,B]f + BAf 等於原po圖片的第一
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條式子
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※ 編輯: movingcastle (223.137.137.2 臺灣), 06/28/2021 17:34:57 ※ 編輯: movingcastle (220.129.232.187 臺灣), 06/28/2021 18:05:31 ※ 編輯: movingcastle (223.137.137.2 臺灣), 06/28/2021 18:17:24
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06/28 18:21, 2年前 , 20F
十分感謝各位的解說，我想大致上我理解了，另外很
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06/28 18:21, 2年前 , 21F
高興學到了commutator的神奇活用XDD
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※ 編輯: movingcastle (223.137.137.2 臺灣), 06/28/2021 18:25:12
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06/28 19:18, 2年前 , 22F
如果都要看成operator的話，其實 d/dt = -iH
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06/28 19:19, 2年前 , 23F
這樣丟在state上面是薛丁格，跟 Q 對易是海森堡
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06/28 19:25, 2年前 , 24F
...啊不不，其實不需要把 d/dt 跟 H 扯上關係也可以，請無
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06/28 19:25, 2年前 , 25F
視上面的推文。
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06/28 19:35, 2年前 , 26F
原po你回貼文的圖差不多是了。(dQ/dt) 是well-defined的時
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06/28 19:35, 2年前 , 27F
候就會對。
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瞭解！
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06/28 19:37, 2年前 , 28F
然後我回一下你問O大的部分
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06/28 19:39, 2年前 , 29F
首先，Q是operator，但某種程度上也可以加減乘除
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06/28 19:40, 2年前 , 30F
直觀上來說我會想直接做
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(dQ(t)/dt) = [Q(t+dt) - Q(t)]/dt 取極限
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大部分時候這樣做都沒有問題。以原po問的這個例子來說，就
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06/28 19:43, 2年前 , 33F
是直接把前面那個 t 偏微掉。
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06/28 19:43, 2年前 , 34F
咦例子是我自己舉的 XD
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wwwwwww
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06/28 19:45, 2年前 , 35F
好吧不重要 XD 重點是，有時候這個極限會跟 Q 對後面的作用
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06/28 19:46, 2年前 , 36F
打架：Q 本身定義有極限，誰先誰後有差別，之類的狀況
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06/28 19:48, 2年前 , 37F
所以我們回來看 Q 和 d/dt 的作用。
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06/28 19:48, 2年前 , 38F
d/dt (Q f) = [d/dt, Q] f + Q (df/dt)
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06/28 19:49, 2年前 , 39F
這個只是搬一下順序，只要展開來沒有哪一項發散就一定對
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06/28 19:52, 2年前 , 40F
另一方面，假設d/dt可以作用在Q上面，那就有chain rule：
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06/28 19:52, 2年前 , 41F
d/dt (Q f) = (dQ/dt) f + Q (df/dt)
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06/28 19:53, 2年前 , 42F
比較一下就得到 dQ/dt = [d/dt, Q]
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06/28 19:53, 2年前 , 43F
然後我們拿這個來定義 dQ/dt
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感謝你！
推
06/28 21:04, 2年前 , 44F
關於f可不可以跟t有關，我想可以這樣看：[d/dt,Q] f =
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06/28 21:04, 2年前 , 45F
d/dt(Qf) - Q (df/dt) = (dQ/dt)f + Q(df/dt) - Q(df/
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06/28 21:04, 2年前 , 46F
dt) = (dQ/dt)f。f可以跟t有關。所以我們得到[d/dt,Q]f
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06/28 21:04, 2年前 , 47F
= (dQ/dt) f。也就是說，看成operator的話，[d/dt,Q]
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！！！！！！ 對吼
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06/28 21:04, 2年前 , 48F
作用在某個general的f上面時，跟(dQ/dt)作用在f上會得
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到一樣結果。因為這裡f是general的，所以我們可以得到[
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06/28 21:04, 2年前 , 50F
d/dt,Q]=(dQ/dt)。(dQ/dt)代表我們對Q這個operator取
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commutator比神奇海螺還要神
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時間導數之後得到的新的operator。我這裡是都先假設所
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06/28 21:04, 2年前 , 52F
有東西導數都well-defined & 不會遇到任何數學上的發
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06/28 21:04, 2年前 , 53F
散問題。
06/28 21:04, 53F
我很樂意忽略任何數學發散問題:)) 我甚至不知道發散是什麼（面壁 感謝你！
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06/28 23:04, 2年前 , 54F
抱歉我想問個蠢問題，原po說"operator跟矩陣運算一樣
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06/28 23:04, 2年前 , 55F
要從右往左做"可是我怎麼記得矩陣運算沒有這種限制
06/28 23:04, 55F
oh......對吼，矩陣沒有這個限制欸 對不起我錯惹 但是我想operator（原來中文叫運算子），好吧，運算子的順序，由右至左應該是沒有錯的 。 ※ 編輯: movingcastle (223.137.137.2 臺灣), 06/29/2021 00:44:08
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06/29 18:54, 2年前 , 56F
[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]
06/29 18:54, 56F
推
06/30 03:43, 2年前 , 57F
這裡的發散問題其實很簡單啦。在湊commutator的時候你先加
06/30 03:43, 57F
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06/30 03:43, 2年前 , 58F
再減 Q df/dt，要是這東西爆掉你的推導就爆掉。
06/30 03:43, 58F
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06/30 03:44, 2年前 , 59F
沒爆就隨便你亂來都會對。
06/30 03:44, 59F
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