[問題] 有θ向力的保守力場?

看板Physics作者時間5年前 (2020/05/07 18:58), 編輯推噓10(10推 0噓 100→)
留言110則, 7人參與, 5年前最新討論串1/1
請問各位高手 今天在思考保守力場時，發現如果力場的θ分量是k/r的形式，對其取旋度會是零，但在 圖像上卻是有旋轉的? 這表示這種場也算是保守力場嗎? https://i.imgur.com/UdNmfTM.jpg
我發現如果是繞另一邊回到原點，會差2πk 不知道這之中的關鍵是什麼? 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.32.65.57 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1588849131.A.36F.html
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05/07 21:02, 5年前 , 1F
這是個挺有教育意義的問題
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05/07 21:03, 5年前 , 2F
問題的關鍵 當然 是在於r=0這個點
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05/07 21:04, 5年前 , 3F
這個力的位能V是可以定義的 剛好是V=kθ 這不是個單值函數
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05/07 21:04, 5年前 , 4F
也就是說 可不可以把這種力稱為保守力 取決於你怎麼定義與
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05/07 21:05, 5年前 , 5F
看待
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05/07 21:06, 5年前 , 6F
教科書上的保守力定義 通常是說做功跟作用路徑無關 或者是
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05/07 21:07, 5年前 , 7F
這個力可以寫成某個位能函數的梯度 這兩者一般被認為等價
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05/07 21:08, 5年前 , 8F
你這個情況 這兩者不等價 因為r=0卡了一個奇點
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05/07 21:09, 5年前 , 9F
所以按照定義1 這不是個保守力 但按照定義2 這卻可以是保守
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05/07 21:10, 5年前 , 10F
力 有個關閉的方法 就是想像θ跟θ+2π 對應的不是同個位置
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就像是黎曼面一樣
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05/07 21:14, 5年前 , 12F
當然 這只是數學上的規避 物理上 這並沒有規避 這種力場不
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05/07 21:15, 5年前 , 13F
屬於基本力場 一個粒子在這種力場下會一直加速繞圈
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05/07 21:17, 5年前 , 14F
要產生這種力場 在r=0的地方 一定是有很tricky事情
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05/07 21:18, 5年前 , 15F
"有個關閉的方法" typo 是 有個"規避"的方法
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05/07 21:21, 5年前 , 16F
當然 有個誕生這種力場的方式 就是有個磁單極 在電線造成的
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05/07 21:22, 5年前 , 17F
電場下運動 可是這個例子 真實的馬可仕威方程 必然會導致更
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05/07 21:22, 5年前 , 18F
複雜的事情發生
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05/07 21:23, 5年前 , 19F
我相信這個例子 應該在很多教科書不同的討論過 古典物理對
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05/07 21:24, 5年前 , 20F
我距離有點遠了 一時之間也想不起來哪裡有討論過了
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05/07 21:25, 5年前 , 21F
但類似的概念 其實量子物理倒是出現過的 而且影響深遠
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05/07 21:28, 5年前 , 22F
又一個typo 在電線造成的"磁場"下運動
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推
05/07 21:42, 5年前 , 23F
哇 作者應該是大一以下吧 講好多~
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05/07 21:44, 5年前 , 24F
向量微積分有講 可以定義(純量)位 要是非旋力場
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05/07 21:44, 5年前 , 25F
如果是大一以下 那麼到底是不是保守力 就看現在高中教科書
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05/07 21:44, 5年前 , 26F
說磁場是不是保守場了
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05/07 21:45, 5年前 , 27F
只是 這種東西只是術語定義罷了 了解保守場有用的地方在哪
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05/07 21:45, 5年前 , 28F
所以...就不行 高中電磁在講電動勢(emf)可能也會提到
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05/07 21:45, 5年前 , 29F
為什麼位能的存在跟保守場的定義數學上等價 甚麼時候可能會
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05/07 21:46, 5年前 , 30F
發生怪事 這比較重要
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05/07 21:47, 5年前 , 31F
事實上 這個例子就是簡單的向量微積分容易出錯或忽略的地方
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05/07 21:49, 5年前 , 32F
這個例子 卡著一個奇點在那裏 沒有注意到的話 會以為旋度各
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05/07 21:49, 5年前 , 33F
處為0 不相信的話 可以自己試試
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推
05/07 21:53, 5年前 , 34F
這樣回答是比較全面 不過先從90%的答案 一步步修正可能
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05/07 21:55, 5年前 , 35F
作者比較好懂 這些問題應該會在應數解決啦
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05/07 21:58, 5年前 , 36F
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05/07 21:59, 5年前 , 37F
這個討論中討論了磁場算不算保守場 一樣的 在不同的條件有
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05/07 21:59, 5年前 , 38F
不同的答案
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05/07 22:00, 5年前 , 39F
只是 黃福坤教授說 在沒有電流的區域就可定義磁位能
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還有 31 則推文
推
05/08 15:22, 5年前 , 71F
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05/08 20:48, 5年前 , 72F
謝謝回應
05/08 20:48, 72F
推
05/08 22:04, 5年前 , 73F
我菜比巴資工大一 自己唸微積分的時候是學到保守場的di
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05/08 22:04, 5年前 , 74F
fferential form需要是exact 不知道這樣看不看得出？
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05/09 02:20, 5年前 , 75F
背公式是不好的習慣 為什麼exact就會是保守場? 這個力場會
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05/09 02:21, 5年前 , 76F
是在所有點都exact嗎? 其實上面的討論都看得出答案
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05/09 15:48, 5年前 , 77F
如果exact的話domain內不管有沒有0點都能用類似繞過的
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05/09 15:48, 5年前 , 78F
方式選取積分曲線,然後使用stokes theorem,此時向量場w
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05/09 15:48, 5年前 , 79F
=df（exact定義）,所以dw=d(df)=0(differential form
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05/09 15:48, 5年前 , 80F
性質)所以積分完=0 我的理解是這樣
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05/09 16:11, 5年前 , 81F
不是這樣
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05/09 16:23, 5年前 , 82F
這就是我說的 這個力場w除了r=0外 是存在位能f=kθ 而w=df
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05/09 16:31, 5年前 , 83F
不過 θ不是單值函數 所以純數來說的確也不能說是exact
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推
05/09 16:32, 5年前 , 84F
呃，保守場定義不就是exact嗎？
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05/09 16:33, 5年前 , 85F
連要證明等價都沒東西證
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05/09 16:34, 5年前 , 86F
是的 看來是我才是把exact跟closed記錯的人XD
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05/09 16:43, 5年前 , 87F
這裡有個一樣的討論 https://reurl.cc/0o4ykY
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05/09 16:43, 5年前 , 88F
總之 我做個總結:
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05/09 16:44, 5年前 , 89F
這個例子 在r不為0的各處 1.力場是非旋的 旋度為0(closed)
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05/09 16:45, 5年前 , 90F
2. 存在位能函數V=kθ 使的F=-V的梯度
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05/09 16:46, 5年前 , 91F
3. 但由於θ不是單值函數 所以力場不是exact的
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05/09 16:52, 5年前 , 92F
我一直想要試著強調的一點是 在我看來 力是否要叫做保守 並
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推
05/09 16:52, 5年前 , 93F
既然已經在講數學定義我就吹毛求疵一下：不是單值就不叫函
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05/09 16:52, 5年前 , 94F
數了，所以不存在位能「函數」
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05/09 16:53, 5年前 , 95F
不是真正最重要的 保守力最有意義性質 是在於可以定義位能
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05/09 16:54, 5年前 , 96F
而這個例子中 某種位能是可定義的 而且是非常有用的
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05/09 16:55, 5年前 , 97F
如果只因它不該叫做保守力 而忽視這點 那不算好的物理
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05/09 22:19, 5年前 , 98F
一開始學的時候還不覺得differential form有什麼特別
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05/09 22:19, 5年前 , 99F
的(至少我的理解是一般工數大一不會學）現在覺得其實他
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05/09 22:19, 5年前 , 100F
的物理意義貌似很深？
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05/10 02:22, 5年前 , 101F
隨便挖掉一條branch，剩下的區域上就可以好好定義θ啦～
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05/10 02:24, 5年前 , 102F
所以我說「保守」要跟區域綁在一起談。如果要討論多值θ，
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05/10 02:24, 5年前 , 103F
那就把空間解開看covering space。
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05/10 03:33, 5年前 , 104F
挖掉一條branch 等於你禁止了包住原點的path
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05/10 03:34, 5年前 , 105F
物理上就沒那麼有用 允許多值事實上比較有用
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推
05/10 04:09, 5年前 , 106F
所以解開來看covering space就好啦，反正有的時候我們真的
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05/10 04:10, 5年前 , 107F
也很想知道到底path順便繞了幾圈。不過因為解開來就不是原
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05/10 04:12, 5年前 , 108F
空間了，所以仍不稱其保守。不然向量場不太糟的話，都可以
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05/10 04:13, 5年前 , 109F
定義出「兩個」potential，一個scalar、一個vector。其實
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05/10 04:13, 5年前 , 110F
他們都很有物理意義啊。
05/10 04:13, 110F
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