[問題] 均勻帶電非導體圓環，靜電造成張力？

看板Physics作者 (新生活)時間4年前 (2020/04/26 20:24), 4年前編輯推噓15(15推 0噓 82→)
留言97則, 6人參與, 4年前最新討論串1/1
【出處】 自己想到的問題 【題目】 有一個均勻帶電荷Q的 非導體細圓環，半徑R 由於自身內部的電荷互相排斥 造成的環張力是多少？ 【瓶頸】 想到利用積分計算結果 但只能算出環上一個小點受到的靜電斥力 是延著徑向向外 請問各位大大 如何才能算出整個圓環的受力呢？ 謝謝喔 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.200.53.49 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1587903847.A.B9D.html ※ 編輯: alenbe (1.200.53.49 臺灣), 04/26/2020 20:47:23
推
04/26 20:50, 4年前 , 1F
https://reurl.cc/qdrzjp 牛頓的殼層定理很好用
04/26 20:50, 1F
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04/26 20:53, 4年前 , 2F
維基給出三維球體的向量式，去改一改公式，可以得出
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04/26 20:53, 4年前 , 3F
向量式1.2.3維的球體和純量式1.2.3維的球體
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04/26 20:54, 4年前 , 4F
電力公式和重力公式結構相同。答案應該不是以質心計
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04/26 20:54, 4年前 , 5F
算。
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04/26 20:55, 4年前 , 6F
數學版"四個變數的積分"補九之前算的，很噁心的公式
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04/26 20:56, 4年前 , 7F
網路上的大陸網友給的質心是錯的
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04/26 20:57, 4年前 , 8F
我算出二維球體(圓盤)會有tan^-1，不是很好算
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04/26 20:58, 4年前 , 9F
圓盤是圓環積分來的A反正要改維基公式就對了，上次
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04/26 20:58, 4年前 , 10F
弄了一個早上，頗難算。算出向外的法向力後，切割圓
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04/26 20:59, 4年前 , 11F
環取一小段d thita 變成一個近似y字形的圖形，再算
04/26 20:59, 11F
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04/26 21:00, 4年前 , 12F
合力分析
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04/26 21:01, 4年前 , 13F
dthita先不要零，算出來再讓他趨近零。
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04/26 21:01, 4年前 , 14F
以上有錯請指正
04/26 21:01, 14F
推
04/27 09:30, 4年前 , 15F
張力應該就是環上點電荷受到其他點電荷向外的電力？
04/27 09:30, 15F
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04/27 09:31, 4年前 , 16F
個人想法是先假設N個電電荷在環上均勻分佈去推某電荷
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04/27 09:37, 4年前 , 17F
位置上感到其他N-1個電荷造成的電場，型式應該是 E=
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04/27 09:41, 4年前 , 18F
Q/(16 \pi \epsilon_0 R^2) \sum_{n=1} ^{N-1} 1/{N [ \
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04/27 09:41, 4年前 , 19F
sin (n\pi / N)]}
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04/27 09:45, 4年前 , 20F
上面電場的式子估算大概是ln N的等級，當N --> \infty
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04/27 09:45, 4年前 , 21F
時，E其實會發散，
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04/27 09:48, 4年前 , 22F
但好玩在考慮每個點電荷的電量為Q/N乘上電場E時，點電荷
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04/27 09:50, 4年前 , 23F
所受淨力大概是 (ln N)/N ，當N --> \infty時，會發現每
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04/27 09:50, 4年前 , 24F
點所受淨力為0。
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04/27 09:56, 4年前 , 25F
但當你在環上放上外加的test charge q時，它受力會是無
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窮大。
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04/27 10:10, 4年前 , 27F
註：推導E時是假設圓環總帶電量Q，切N個點電荷均勻分佈
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04/27 10:10, 4年前 , 28F
時，
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04/27 10:11, 4年前 , 29F
每個點電荷帶電量為Q/N 。
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04/27 10:21, 4年前 , 30F
註2：E的無窮大order是大概估計的，實際應該還大於 ln N
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。
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04/27 10:28, 4年前 , 32F
上一行最後的句話，其實是問號 (跪求更詳細的估計方法)
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04/27 10:41, 4年前 , 33F
但應該還是有大於 ln N ，小於 N 的結果。
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04/27 11:04, 4年前 , 34F
上一行又錯:~ 估計是"大於 1，小於 ln N "
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推
04/27 11:57, 4年前 , 35F
都已經把靜電力算出來了，接著要求張力抵消靜電力就好啦
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04/27 11:58, 4年前 , 36F
取個半圓，靜電合力等於兩倍張力
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04/27 14:37, 4年前 , 37F
算出靜電能模仿表面張力計算可以嗎？
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04/27 20:34, 4年前 , 38F
其實連單點受靜電力都積不出來
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04/27 20:34, 4年前 , 39F
積到後來發散卡住了
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https://reurl.cc/ZO99gl, , 40F
https://reurl.cc/ZO99gl, 40F
※ 編輯: alenbe (1.200.53.49 臺灣), 04/27/2020 20:35:55
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04/27 21:02, 4年前 , 41F
喔了解，那就是沒有高度的環不能穩定存在，你加個z軸把電荷
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04/27 21:03, 4年前 , 42F
抹開就可以積了
04/27 21:03, 42F
推
04/27 21:11, 4年前 , 43F
一開始kqdQ，q和dQ都無限小，你指涉到dQ無限小，q沒
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04/27 21:12, 4年前 , 44F
設到。不錯耶，幾乎列對了。我是用殼層公式畫簡的
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04/27 21:13, 4年前 , 45F
跟你這個也許應該是一樣的。它不會無限大你想就知道
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04/27 21:13, 4年前 , 46F
了
04/27 21:13, 46F
推
04/27 21:19, 4年前 , 47F
你這樣設最後可能要求sigma 1/sqrt(1-cos(k*2pi/n))
04/27 21:19, 47F
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04/27 21:20, 4年前 , 48F
*1/n^2的極限，沒有已知的公式可以求，只能用牛頓的
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04/27 21:20, 4年前 , 49F
殼層，牛頓當然會極座標，但因為這樣所以才用另外一
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04/27 21:21, 4年前 , 50F
形式。你試看看網站的做法，應該1-3維向量純量都可
04/27 21:21, 50F
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04/27 21:22, 4年前 , 51F
你這樣設法就是把上半切割成n分扇形，會得到一個limi
04/27 21:22, 51F
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04/27 21:23, 4年前 , 52F
t。如果不能求極限，就要另闢蹊徑。上次我算過是可行
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04/27 21:23, 4年前 , 53F
的。
04/27 21:23, 53F
→
04/27 21:24, 4年前 , 54F
殼層算出來你等於重現牛頓的成果，才能真正認識他
04/27 21:24, 54F
推
04/27 21:28, 4年前 , 55F
牛頓可能要用殼層球內那邊也要考慮
04/27 21:28, 55F
推
04/27 21:34, 4年前 , 56F
單一圓環張力都要無限大，矮圓柱面可能可行，再算算。
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推
04/27 21:38, 4年前 , 57F
2tan^-1[r+R/(r-Rtan(pi/2))]/(r^2-R^2)
04/27 21:38, 57F
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04/27 21:40, 4年前 , 58F
這個是二維圓盤(純量我算的結果)，積分裡貌似有無限
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04/27 21:40, 4年前 , 59F
大，但外面又tan^-1可能會把它回復正常，我那時也覺
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04/27 21:40, 4年前 , 60F
的怪怪的。
04/27 21:40, 60F
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04/27 21:42, 4年前 , 61F
它原本是一個積分式不要用變數代換算出來，用逼近的
04/27 21:42, 61F
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04/27 21:43, 4年前 , 62F
如果這是重力，應該不會覺得一點所受環的引力無限大?
04/27 21:43, 62F
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04/27 21:46, 4年前 , 63F
C大：不管他的test charge是Q還是dq，電場確定會log發散
04/27 21:46, 63F
推
04/27 21:49, 4年前 , 64F
恩我算算看好了
04/27 21:49, 64F
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04/27 21:50, 4年前 , 65F
換成重力也是一樣。環的體積密度無限大，本來就是不怎麼現
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04/27 21:50, 4年前 , 66F
實的條件，壞掉了也不要緊。
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04/27 21:51, 4年前 , 67F
其實就是因為用連續的切無窮小去做這問題的話，電力的被
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04/27 21:51, 4年前 , 68F
積分式將會變成「2次方的無窮小」，積電場結果又會發散
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→
04/27 21:52, 4年前 , 69F
，
04/27 21:52, 69F
推
04/27 21:53, 4年前 , 70F
wohtp大和judg大你們說的對，這個電場無窮大，不過q
04/27 21:53, 70F
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04/27 21:54, 4年前 , 71F
物理解釋就是因為「不會有無窮窄的環，也不會有無窮小
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04/27 21:54, 4年前 , 72F
的帶電粒子」
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04/27 21:54, 4年前 , 73F
有一階小，我上次有用網站做出來試試看，記得二維結
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04/27 21:54, 4年前 , 74F
果的確怪
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04/27 21:58, 4年前 , 75F
偷吃步的方法：
04/27 21:58, 75F
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04/27 21:59, 4年前 , 76F
1. 原po已經積出 ln[tan(pi/4)/0] 了
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04/27 21:59, 4年前 , 77F
2. 設環的半徑 R，高度 z， R >> z
04/27 21:59, 77F
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04/27 22:00, 4年前 , 78F
3. 若沒有 z 就發散，有 z 就不發散，所以 ln 裡面那個 0
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04/27 22:01, 4年前 , 79F
可以換成 z 的函數
04/27 22:01, 79F
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04/27 22:03, 4年前 , 80F
4. 既然要填沒有因次的東西進去，只能選 z/R + O((z/R)^2)
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04/27 22:04, 4年前 , 81F
所以那個積分的結果是 ln(R/z) + O(1) + O(z/R)
04/27 22:04, 81F
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04/27 22:05, 4年前 , 82F
第一項很大，後面的丟掉也可以
04/27 22:05, 82F
推
04/27 22:35, 4年前 , 83F
https://imgur.com/a/RU839lX 用維基的方法跟你算一
04/27 22:35, 83F
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04/27 22:36, 4年前 , 84F
樣。上次算二維圓環和圓盤，三維球殼和球的向量和純
04/27 22:36, 84F
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04/27 22:37, 4年前 , 85F
量累死我一個早上。 真的是二維都會發散，純量大概也
04/27 22:37, 85F
→
04/27 22:38, 4年前 , 86F
是發散。
04/27 22:38, 86F
推
04/27 22:40, 4年前 , 87F
反正二三維都是可以列式的，不管有無發散。向量純量
04/27 22:40, 87F
→
04/27 22:41, 4年前 , 88F
量都可以。設四維極座標可以列出數學板那人問的式子
04/27 22:41, 88F
→
04/27 22:42, 4年前 , 89F
但是會積不出來只能用逼近的
04/27 22:42, 89F
推
04/27 23:21, 4年前 , 90F
其實我也有點意外。1/r^2 場在三維剛剛好singular，我以為
04/27 23:21, 90F
→
04/27 23:21, 4年前 , 91F
拿到二維又抹開成一條線以後積分應該很收歛的。
04/27 23:21, 91F
→
04/27 23:22, 4年前 , 92F
但算出來發散就發散
04/27 23:22, 92F
推
04/28 02:28, 4年前 , 93F
抹成實心甜甜圈，或者截面是方形的實心甜甜圈應該可以吧？
04/28 02:28, 93F
推
04/28 02:42, 4年前 , 94F
對了補充一下，淨力積分出來也會發散。算合力的時候那個電
04/28 02:42, 94F
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04/28 02:42, 4年前 , 95F
場的log只是常數可以提到積分外面。
04/28 02:42, 95F
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04/28 02:45, 4年前 , 96F
每一點受徑向電場E，任意弧受的淨力都可以積。E發散淨力當
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04/28 02:45, 4年前 , 97F
然發散。
04/28 02:45, 97F
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