[問題] 角速度的定義

看板Physics作者 (Anywayne)時間9年前 (2016/12/11 11:57), 9年前編輯推噓13(13推 0噓 29→)
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小弟來ptt不久，本篇更是首po，若文章中有任何不妥之處，還望各位大大提醒，小弟會立即修正。 小弟以前對角速度的定義都是如同維基所寫的: https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/角速度 即w=rxv/r^2 雖然這個定義下得到的w，並不是很直觀，但能藉此導出v_theta=rxw，也算是很方便了。 (v_theta指的是v-v_r即只有垂直徑向的速度 但最近看到一個新的定義，讓小弟有些困惑 首先由 http://i.imgur.com/YevHr98.jpg
(本圖非小弟所寫，但已經過當事人同意 可得到一旋轉矩陣，且由於二階微量可視為零，故不管先轉任一軸，其結果皆相同。 那麼位置向量r做一小旋轉變成r' http://i.imgur.com/41yQ1sT.jpg
也就是當沒有徑向速度v_r時，速度可以以此形式表示。 但以我原本對w的定義，似乎等同於這裡的d(theta)/dt 所以小弟就開始試這證明這兩者相同，卻得到很奇怪的結論。 由原先的w=rxv/r^2 http://i.imgur.com/cgSqrCs.jpg
如果這裡的w_x dt=d(alpha) 那麼這個證明基本上就成功了，所以我開始找d(alpha)的形式 用y,z軸建立一極座標平面，alpha為位置向量與y軸的夾角。 http://i.imgur.com/ej9629w.jpg
就差那麼一點！！ 我得到的d(alpha)和w_x dt在分母差了一個(r_x)^2阿！！ 難道這裡的w和d(theta)/dt就真的不等於嗎？ 但兩者和r做外積，卻都能得到垂直於徑向的速度！ 只是差在原先定義的w就算有徑向速度也能計算， 後者在推導時卻是假設沒有徑向速度 (即r^2是constant，只做旋轉 也就是w×r=v-v_r是由定義可得到的 (把w=rxv/r^2帶入，由向量三重積得 但d(theta)/dt x r在有徑向速度時，原先的推導就不可用(或說需修正 兩者只差只在此而已，但我算出的w_x dt 卻不等於d(alpha)，是兩者真的不相同嗎？ 還是我的過程出錯了？ ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.35.77.233 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1481428632.A.454.html
推
12/11 12:12, , 1F
r=!r^2=r_x^2+r_y^2
12/11 12:12, 1F
如果大大指的是最後一張圖，那是因為小弟在分子分母同乘已r，所以分母變成r^2，分子會有r_y,r_y出現 小弟回覆也是第一次…應該是這麼做沒錯w 大大指的是極座標那邊的過程錯誤嗎？ ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:15:52 ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:18:46
推
12/11 12:18, , 2F
把r消掉 然後小角度近似
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12/11 12:20, , 3F
或者比較懶惰的做法 寫出座標轉換矩陣R dr=(R-1)r
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12/11 12:21, , 4F
對(R-1)小角度近似 主對角線就會不見了
12/11 12:21, 4F
http://i.imgur.com/o0aAcwD.jpg
是的，可以寫成這樣 可是接下來的步驟要跟我原本的方法不一樣，小弟就不懂了Orz
推
12/11 12:23, , 5F
看到背後筆記 應該是在上古典力學吧 Goldstein裡面有
12/11 12:23, 5F
沒有啦，小弟高中生而已，這些是自己興趣學的XD 其實關於很多這類的書籍，我都不知道要去哪買QQ ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:24:26 ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:35:15 ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:36:42
推
12/11 12:37, , 6F
應該是wiki的公式有問題 他是假設在垂直平面上
12/11 12:37, 6F
真假Orz 照維基的定義，我的理解方式是: 在三維座標中，一垂直於徑向的速度，順時可看做形成一平面，而這個w值，就是在此平面上的角速度，且方向與平面垂直。 如果wiki是錯的，那對於速度可以用v=w×r，只能說是剛好囉？
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12/11 12:39, , 7F
可是如果r與w不垂直 r與v外積出來的不會平行於w
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12/11 12:40, , 8F
所以r應該就是與轉軸的距離 沒有r_x^2
12/11 12:40, 8F
對欸，照wiki的方式去算，w永遠會垂直於r，這似乎不太正確
推
12/11 12:40, , 9F
話說這東西我好像在力學的課用沒幾次
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12/11 12:43, , 10F
像這種大學教科書，一般書局沒在賣，你可以到一些大學的
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12/11 12:43, , 11F
圖書館翻翻看，真有需要在買，不然就是找有沒有pdf檔
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目前都是看pdf+開放式課程，不過理論力學好像沒有開放式課程就是QQ ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:44:05
推
12/11 12:48, , 12F
參考座標怎麼取的問題 他將原點定義在轉軸離點最近的地
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12/11 12:49, , 13F
方 你應該是取在軸上不一定的地方 所以中間的距離r_x
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※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:49:42
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12/11 12:49, , 14F
在wiki上沒出現 你卻會出現
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※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:51:15
推
12/11 12:55, , 15F
也不能說錯 只是有問題 wiki的座標取法是你的取法的特例
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12/11 12:56, , 16F
沒有講清楚會引起誤會 但講清楚後還是一樣的
12/11 12:56, 16F
因為力矩的定義，就會因座標選取而改變，所以當初在弄這裡也就這麼想了XD http://i.imgur.com/v6UOjd4.jpg
如果這樣定義，比方說w_x，就只看v,r在yz的大小，那麼就能跟d(theta)/dt的定義相符了，只是對於這樣的v=rxw我還要在算一下ww
推
12/11 12:57, , 17F
youtube倒是有不過是英文的 講的也沒特別好
12/11 12:57, 17F
英文不好Orz 不過可以去找找看，謝謝您！
推
12/11 13:05, , 18F
個人很喜歡古典力學 不過大二時沒讀通 Lagrangian與Hami
12/11 13:05, 18F
可能是因為還沒讀量物的關係，其實我至今不懂為何理論力學會有如此重要的地位 比方說理論力學就要在理想約束，完整約束下才好用 雖然這很常見，但並沒有牛頓力學來的普遍阿！ 想來是我學的不夠QQ 是說到正則變換我就完全看不懂了XD
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12/11 13:06, , 19F
ltonian力學的物理圖像是在光學/量物/流力裡面才找到的
12/11 13:06, 19F
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:22:31 ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:23:19 ※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:30:33
推
12/11 14:59, , 20F
正則變換就是，lagrangianㄧ開始用的就是廣義坐標，你高
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興怎麼變lagrangian的公式還是不變，但Hamiltonian就不一
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樣了，因為它有兩個坐標p,q以我們的目的就是找什麼變換下
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使Hamilton形式不變，這個就叫正則變換
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推
12/11 15:04, , 24F
你說要普遍牛頓力學也沒很普遍 反而學Hamiltonian或lagrang
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12/11 15:05, , 25F
ian在電磁學還量子力學都適用 重點是考慮相對論後依然適用
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推
12/11 15:18, , 26F
lagrangian 可以從簡單一維時間推廣到n維時空
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12/11 15:19, , 27F
但是hamiltonian 把時間硬性分出來，跟相對論不太合拍吧
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12/11 15:21, , 28F
所以你看高能的起手式lagrangian action
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12/11 15:22, , 29F
*都是
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推
12/11 15:23, , 30F
也是拉 我教授說高能的一般都用lagrangian 統力用Hamiltoni
12/11 15:23, 30F
可以請教一下什麼是高能嗎？XD google找不太到
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12/11 15:49, , 31F
剛導了老半天還是導不出來Orz
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12/11 15:49, , 32F
在平面極座標下，wxr只有theta方向的速度，而沒有r方向的
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速度。
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那麼在三維空間中，若存在一w，要怎麼證明wxr不含徑向速度
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？
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跟r垂直啊。
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阿…抱歉，沒表達很清楚，我的意思是wxr包含了整個垂直徑向的速度，及可以寫成 http://i.imgur.com/lw40Ohg.jpg
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 16:24:38
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12/11 16:33, , 37F
其實好像就只是垂直與r沒錯而已ww
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想一整天有點亂了，我休息一下好了Orz
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看來是因為平常在算是比較懶，習慣用平面極座標，所以會想
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要把速度分成徑向速度和w×r，
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剛剛發現光是柱座標就無法達到這點了。
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12/11 18:38, , 42F
不過這下總算弄懂角速度的定義了，謝謝樓上諸位大大！！
12/11 18:38, 42F
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 21:36:59
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