[新聞] 引力場的量子化及其局限性
引力場的量子化及其局限性
作者：李學生髮佈時間：2016-05-18 15:42:35
引力場的量子化及其局限性
二十世紀理論物理學面臨的一個主要困難，可以用兩個字概括，那便是發散…….發散是
量子場論中的基本困難.起初人們相信如果狹義相對論是正確的，那麼量子力學的形式就
應該適當地加以修改.因為從狹義相對論的觀點來看，薛定諤方程是明顯非洛侖茲協變的.
籠統地說，其中方程對時間求的是一階導數，而哈密頓算符往往是空間的二階導數，時間
與空間處於不平等的地位.為了使得量子力學與狹義相對論協調起來，狄拉克等人創立了
量子場論.其場方程，已具有了明顯的洛侖茲協變性，同時它不僅可以對點粒子進行描述
，而且能夠對具有廣延性質的物質場進行描述，並將其量子化.這本身絕不能被視為僅僅
是量子力學一種簡單的推廣，同時應看到它本質上的一次飛躍.從物理上看，量子場論能
夠描述粒子的產生和湮滅，而這是在量子力學中無法實現的，從數學上看，場論中，系統
的自由度是無數多的，而量子力學主要處理的只能是有限個自由度的系統，這樣一種質的
不同，使得兩者之間的數學結構，是極不相同的，比如說希爾伯特空間的定義等等.乃至
到今天，量子力學的數學結構是已經很清楚了的，但是量子場論的數學結構，依然是有待
進一步研究的課題.
量子場論中的方程在許多具體問題中已經顯得很複雜，乃至無法精確求解.特別是方程中
含有非線性項的時侯.所以至今，量子場論中發展起來的幾套比較成熟了的方法，都是以
近似求解為目的的微擾論.這時發散的困難也就體現出來了.其結果是，我們本來期望那樣
一些應該越來越小的修正項，相反卻是無窮大的.這或是由於積分項中的動量趨向無窮大
而導致的紫外發散，或是由於動量趨向零而導致的紅外發散，而前者是量子場論中所遇到
的主要困難.
為了消除這樣一些發散項，物理學家引入了一種稱之為重整化的方法，部分地解決了這一
難題.其基本思想便是把那樣一些發散項吸收到一些基本“常”量中去，而那樣一些無窮
大的常量卻是我們永遠觀測不到的.所能觀測的只是那樣一些經過重整化了的有限大小的
量.但是這樣的一種方法並不是對任何一種理論都適用，如果一個理論中的基本發散項隨
著微擾的展開越來越多的話，那麼我們就無法將所有的發散項，全部吸收到那樣有限的幾
個基本常量中去.我們稱這樣的一種理論是無法重整化的.量子電動力學(QED)很早就被認
識到是一個可重整化的規範理論，而嚴格證明其它理論是否能被重整化，很長一段時間內
，是一個沒有解決的問題.直到七十年代初，這樣的一個難題方被當時還是研究生的特.霍
夫特(t'Hooft)和他的導師攻克.他們證明了當時基於規範理論的其它統一模型，都是可重
整化的.這樣的一個工作，給YANG-MILLS理論帶來了第二次青春，同時也使得他們榮獲了
1999年的諾貝爾物理學獎.至今，人們相信描述強，電弱三種相互作用的量子場論，都是
可以重整化的.但是，描述引力相互作用的量子引力，卻是無法重整化.這是當今理論物理
界，面臨的一個主要困難.從另外一個角度說，這樣的一個困難等價於怎樣將量子力學與
描述引力場的廣義相對論協調統一起來……
（1）量子引力的產生
雖然量子引力理論的主要進展大都是在最近這十幾年取得的，但是引力量子化的想法早在
1930 年就已經由L. Rosenfeld 提出了.從某種意義上講，在今天大多數的研究中量子理
論與其說是一種具體的理論，不如說是一種理論框架，一種對具體的理論——比如描述某
種相互作用的場論——進行量子化的理論框架.廣義相對論作為一種描述引力相互作用的
場論，在量子理論發展早期是除電磁場理論外唯一的基本相互作用場論.把它納入量子理
論的框架因此就成為繼量子電動力學後一種很自然的想法.
1920 年，韋爾提出了一個將電磁場和引力場聯繫起來的電磁場幾何化的理論，他的基本
想法是：把電磁場與空間的局部度規不變性聯繫起來.韋爾的理論不僅沒有得到學術界的
認可，而且也與實驗結果不符.之後，瑞尼契、惠勒、米斯納等人也作了很多將電磁場幾
何化的嘗試，都沒有獲得成功.人們也曾試圖將引力場進行量子化，並從中尋求引力場與
電磁場的本質聯繫，企圖用量子論的方法實現引力場與電磁場的統一.
通常經典場論的內容主要包括經典電磁場論即經典電動力學和經典引力場論兩個部分，前
者指麥克斯韋的電磁場理論，後者指愛因斯坦的廣義相對論.已知場是物質的基本形態，
經典電動力學已發展為量子電動力學，那麼很自然地愛因斯坦的廣義相對論，即相對論性
的經典引力場論也應發展為量子廣義相對論或量子引力場論.既然量子電磁場的基態稱為
電磁真空態，基態的量子電磁場稱為量子電磁真空；那麼量子引力場的基態就應稱為引力
真空態，基態的量子引力場就應稱為量子引力真空.
科學家們引入引力場量子理論——“引力子”理論.根據電磁場量子理論，物質間的相互
作用（吸引或排斥）是通過交換電磁場量子——光子實現的.由於電磁力和萬有引力都是
長程力，與距離的平方成反比，人們通過類似的方法把引力場量子化，把引力場量子叫做
引力子，常用符號ｇ表示，引力子具有波粒二象性.引力場和其他場物質可相互轉化，如
電子和正電子湮滅時，除以產生光子的方式進行外，還可能以產生兩個引力子的方式進行
.人們還推測，引力子的靜止質量為零，電荷為零，是自旋為２的以光速運動的玻色子.長
期以來，人們力圖通過探測引力波的存在證實引力場理論.但由於萬有引力太弱，相應引
力子的能量比光子小的多，探測非常困難.引力波是否存在，是一個極重大的理論與實驗
問題，科學家在確認引力波存在的問題上，採取極謹慎的態度，並繼續從各方面探測引力
波.此外，人們還設計出能發射引力波的裝置.研究引力波，對進一步認識物質的結構和本
性，促進科學技術的發展有重要的意義.
（2）協變量子化和正則量子化
引力量子化幾乎是量子化方法的練兵場，早期的嘗試幾乎用遍了所有已知的場量子化方法
.最主要的方案有兩大類：協變量子化和正則量子化.它們共同發源於1967年B. DeWitt題
為"Quantum Theory of Gravity"的系列論文.協變量子化方法試圖保持廣義相對論的協變
性，基本的做法是把度規張量g μν分解為背景部分g μν和漲落部份h μν :g μν
= g μν + h μν ,不同的文獻對背景部份的選擇不盡相同，有的取Minkowski背景度
規η μν，有的取量子有效作用量(quantum effective action)的解.這種方法和廣義相
對論領域中傳統的弱場展開方法一脈相承，思路是把引力相互作用理解為在一個背景時空
中引力子的相互作用.在低級近似下協變量子引力很自然地包含自旋為2的無質量粒子：引
力子.
由於這種分解展開使用的主要是微擾方法，隨著20世紀70年代一些涉及理論重整化性
質的重要定理被相繼證明，人們對這一方向開始有了較系統的了解.只可惜這些結果基本
上都是負面的.1974年，G. 't Hooft 和M. Veltman 首先證明了在沒有物質場的情況下量
子引力在單圈圖(1-loop) 層次上是可重整的，但只要加上一個標量物質場理論立刻變得
不可重整.12年後MH Goroff 和A. Sagnotti 證明了量子引力在兩圈圖(2-loop) 層次上是
不可重整的.這一結果基本上結束了早期協變量子引力的生命.又過了十二年，Z. Bern 等
人證明——除了N = 8 的極端情形尚待確定外——量子超引力也是不可重整的，從而連超
對稱這根最後的救命稻草也被剷除了.早期量子引力理論，即量子力學和廣義相對論相結
合的量子引力出現的發散困難無法消除，即不能重正化，可以說至今還沒有一個十分完滿
的量子引力理論.但是這並未妨礙人們熱情地探索引力場量子化的工作，而且還取得了相
當的成功.
與協變量子化方法不同，正則量子化方法一開始就引進了時間軸，把四維時空流形分割
為三維空間和一維時間(所謂的ADM 分解)，從而破壞了明顯的廣義協變性.時間軸一旦選
定，就可以定義系統的Hamilton 量，並運用有約束場論中普遍使用的Dirac 正則量子化
方法.正則量子引力的一個很重要的結果是所謂的Wheeler-DeWitt 方程，它是對量子引力
波函數的約束條件.由於量子引力波函數描述的是三維空間度規場的分佈，也就是空間幾
何的分佈，它有時被稱為宇宙波函數， Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理學家視為
量子宇宙學的基本方程.1967年，B.德韋特(DeWitt)應用狄拉克正則量子化方法，對引力
進行量子化.1968年，J.惠勒(Wheeler)和C米斯納( Misner)加以發展完善，給出一個類似
於薛定諤方程的宇宙波函數方程.這個動力學方程就是惠勒.德韋特(WDW)方程，從此量子
宇宙學興起.後來人們把以WDW方程為核心內容的量子宇宙學稱為舊量子宇宙學.
與協變量子化方法一樣，早期的正則量子化方法也遇到了大量的困難，這些困難既有數學
上的，比如Wheeler-DeWitt 方程別說求解，連給出一個數學上比較嚴格的定義都困難；
也有物理上的，比如無法找到合適的可觀測量和物理態.
在建立量子引力理論的途徑中，主要出現有兩種走向.一種是把量子力學只和廣義相對論
即引力作用結合起來，這稱為純引力的量子理論，或量子引力場論，例如半量子引力、圈
量子引力等屬於此種.另一種是受了粒子物理標準模型的啟發，試圖把廣義相對論和電磁
、弱及強三種作用統合起來，形成所謂的四種作用的超統一理論，例如超引力和超弦/M理
論等屬於此種.由於這兩種類型的理論，都是有關引力作用的量子理論，所以人們把它們
都稱為量子引力理論.
由於WDW方程是一個泛函微分方程，在，就必須對宇宙波函數實施邊界條件或初始條
件，而這些卻是十分艱難的工作.於是人們試圖運用量子引力的歐幾里德路徑積分變換，
這是因為此種方法在閔可夫斯基時空量子場論中是一種有效的計算技巧.量子宇宙學經過
艱難的一段停滯後，1979年，S.霍金(Hawking)引進了可由歐幾里德路徑積分形式表示的
躍遷振幅， 這種形式的量子宇宙學，稱為新量子宇宙學.在新量子宇宙學中，主要由於宇
宙邊界條件的差異，出現了哈特爾.霍金和維連金兩種不同方案.1983年，J.哈特爾
(Hartle)和霍金提出宇宙無邊界假設，通過引入歐幾里德函數積分，把正則量子化方法和
路徑積分量子化方法結合起來，給出了合理的波函數，從而確定了所謂宇宙的量子態
.1985年，A.維連金(Vilenkin)提出宇宙隧道邊界條件，認為我們宇宙是從無(Nothing)量
子隧穿效應而產生的，波函數僅由在超空間部分的外向模所構成.無論是哈特爾一霍金的
新量子宇宙學，還是維連金的新量子宇宙學，都給出了我們宇宙量子態的波函數，這兩種
方案都有其成功和不足的.
（3）圈量子引力真空
圈量子引力是當前正則量子引力的流行形式,正則量子引力是只有引力作用的量子引
力理論，它的基本概念是應用標準量子化手續於廣義相對論，而廣義相對論則寫成正則的
哈密頓形式.根據發展正則量子引力大體上可分為樸素量子引力和圈量子引力.粗略說來，
前者發展於1986年前，後者發生於1986年後.樸素量子引力由於存在著發散困難即不能進
行重正化，從而圈量子引力發展成為當前正則引力的代表.
基態的量子引力場是量子引力真空，量子引力場的基態是量子引力真空態.由於作為
物質存在形式的空間時間，在一定意義上而言，實際上就是可看作引力真空的空間時間.
所以我們研究量子引力真空的時空性質，也就是要研究在普朗克標度下真空的空間時間的
物理性質.
1986 年，A.阿希泰卡爾（Ashtakar）研究了A.森（Sen ）提出的廣義相對論引力場
方程的精緻形式，這形式的方程已經表述了廣義相對論的核心內容.1987年，他給出了廣
義相對論的流行形式，從而對於在普朗克標度的時空幾何量，可以進行具體計算，並作出
精確的數量性預言.這種表述是此後圈量子引力進一步發展的關鍵.
1990 年，C.羅維利（Rovelli）和J.斯莫林（Smolin）研究得出在普朗克標度，空間
具有幾何斷續性，而這些編織態，在微觀尺度上具有真空泡沫即時空泡沫的形式.1994年
，他們第一次計算了面積算子和體積算子的本徵值，得出它們的本徵譜為斷續而非連續的
重大結論.
（4）超引力量子真空
超引力是具有超對稱性的引力理論.所謂超對稱性，是指把費米子和玻色子聯繫在一
起的一種擴大對稱性，它同時也將內部對稱性和彭加勒（Poincare）不變性聯繫了起來.
在超引力理論中，引力是通過超對稱局域化而產生的，所以又稱為定域超對稱性.
1976 年，D.弗里得曼（Freedman），P.紐溫休澤恩（Nieuwenhuizen）和F.菲賴拉（
Ferrara）等人提出超引力，認為超對稱定域化可導致超引力.1980年，P.弗里翁德（
Freund）、M.魯賓（Rubin ）利用高維時空的場結構解決了高維時空如何變為四維時空和
內部空間的直積這樣的真空態結構.1983年，M.安瓦達（Awada）、M.達夫（Duff）和C.波
普（Pope）證明了11維超引力在7維扁球上緊緻化，可給出具有N＝1超對稱的真空解.1984
年，I.蓋姆派耳（Gampell）、P.外斯（Wess）和P.豪依（Howe）等人在10維時空中得出
有三種超引力理論的結果，其中有兩類是非手徵超引力，另一類是手徵超引力.但真空結
構形式為M[，5]times;M[，5]，而不是M[，4]times;M[，6]. 1985年，T.魯布（Robb）和
J.泰勒（Tayler）用通常的弗里翁達魯賓假設略為差別的方案，首次得到了M[，
4]times;M[，6]的真空結構解.同年，紐溫休澤恩和N.瓦奈爾（Warner）給出真空態結構
非直積的形式.值得指出，在超弦理論建立後，人們知道10維超引力真空乃是超弦真空的
特殊情況.
（5）超弦/M理論真空
超弦/M理論由超弦理論和M理論組成，它是當代量子引力的最佳候選者.當今量子引力
除超弦/M理論外，還有圈量子引力、拓撲場論、歐幾里得量子引力、扭量理論等.超弦/M
理論的目的，在於提供已知四種作用即引力和強、弱、電相互作用統一的量子理論.
弦理論雖然在20世紀70年代中期，已知其中自動包含引力現象，但因存在一些困難，
只是到80年代中期才取得突破性進展.弦理論發展可粗略分為早期弦理論（70年代）、超
弦理論（80年代）和M理論即膜理論（90年代後）三個時期.
10 維超弦理論建立於20世紀80年代中期，人們稱為弦理論的第一次革命，有五種獨
立微擾超弦真空.M理論是作為10維超弦理論的11維推廣，它包含多種維數的物質實體膜（
brame），1維弦、二維普通膜只是它的兩個特例.M理論是20世紀90年代興起的，人們稱為
弦理論的第二次革命.M理論的超統一真空，把超引力的11維真空和五種超弦10維真空作為
低能極限情況統一在其中.這是四種作用統一量子理論發展中十分令人鼓舞的重大突破.
對超弦/M理論真空研究的雄心勃勃，還在於探討我們宇宙真正的真空結構， 即我們宇
宙四種基本作用統一的、非微擾的、原初的超統一真空的具體形式.根據這個初始基態解
，人們就可以期望從第一原理來計算我們宇宙的基本參量，從而獲得我們宇宙的整體結構
、創生及演化基本規律的深入認識.
在超弦/M理論宇宙學中， 人們認為我們最初的膜世界是由永恆宇宙真空的量子漲落而
來.1999年，L.蘭德爾（Randell）和R.桑德拉姆（Sundrum）提出我們宇宙的一個五維膜
世界模型[11]，其中空間額外維度是7維的，有6個維度是緊緻的，剩1個是非緊緻的.這就
是說，我們世界是D[， 3] times;R[1]（時間）被嵌入在Ads[，5]中，它的1個額外維度
是非緊緻的.2001年，P.斯坦哈特（Stainhart）和T.特魯克（ Turok）提出火劫/循環（
Ekpyrotic/Cyclic）膜世界模型，此模型認為我們宇宙是在一個高維空間中的許多D膜之
一，這些D膜彼此間有引力作用，隨機地會發生碰撞.大爆炸就是另外一個D膜碰撞到我們
宇宙這個D膜的結果.
綜上所述可知，愛因斯坦在創建相對論後提出的一無所有的空間，即原初所謂的真空
概念是沒有意義的論斷，空間時間是不可以脫離物質世界的真實客體而存在的東西等思想
是極為深刻的，它影響著現代物理學真空理論的發展過程.20世紀基礎物理學的真空理論
，實質上是量子的.當今量子真空理論正在蓬勃地發展，真空是基態的量子場，量子場的
基態是真空態，這些觀念已經逐步被人們所接受.量子真空物理在實驗、理論和哲學義理
諸方面，同樣取得很大的進展.可以預見經過若干年的刻苦研究，21世紀物理學四大問題
之一的真空結構困難，是不難獲得重大突破的.
空間量子化曾經是許多物理學家的猜測，這不僅是因為量子化這一概念本身的廣泛應用開
啟了人們的想像，而且也是因為一個連續的背景時空看來是量子場論中紫外發散的根源
.1971年R. Penrose 首先提出了一個具體的離散空間模型，其代數形式與自旋所滿足的代
數關係相似，被稱為spin network.1994年Rovelli 和Smolin 研究了Loop Quantum
Gravity 中的面積與體積算符的本徵值，結果發現這些本徵值都是離散的，它們對應的本
徵態和Penrose 的spin network 存在密切的對應關係.以面積算符為例，其本徵值為：
A = Lp2 Σl [Jl (Jl + 1)]1/2，式中Lp 為Planck 長度，Jl 取半整數，是spin
network 上編號為l 的邊所攜帶的量子數，求和Σl 對所有穿過該面積的邊進行.這是迄
今為止有關Planck 尺度物理學最具體的理論結果，如果被證實的話，或許也將成為物理
學上最優美而意義深遠的結果之一. Loop Quantum Gravity 因此也被稱為量子幾何
(QuantumGeometry).對Loop Quantum Gravity 與物質場(比如Yang-Mills 場) 耦合體系
的研究顯示，具有空間量子化特徵的Loop Quantum Gravity 確實極有可能消除普通場論
的紫外發散.
（6）量子引力對於黑洞熱力學的研究
迄今為止對量子引力理論最具體最直接的“理論證據” 來自於對黑洞熱力學的研究.1972
年，Princeton 大學的研究生JDBekenstein 受黑洞動力學與經典熱力學之間的相似性啟
發，提出了黑洞熵的概念，並估算出黑洞的熵正比於其視界(Event Horizon) 面積.稍
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