[問題] 統計力學Density matrix

看板Physics作者 (榮)時間8年前 (2016/04/22 15:36), 8年前編輯推噓9(9推 0噓 32→)
留言41則, 4人參與, 最新討論串1/1
各位大大好 小弟最近修統物到量子統計開頭 (Pathria ch5) 對於一些formulation還不是很懂 1. http://i.imgur.com/DqiSWAc.jpg
關於這邊的第11式(Pathria第三版 117頁) 先假設系統是平衡所以ensemble是stationary 如果用H的eigenfunction 當作基底 則H可以展成對角矩陣 這我可以理解 但為何這也代表density matrix也是對角矩陣呢？ Density matrix 的定義中 並沒有用到basis的性質 因為他的定義只是 http://i.imgur.com/x73Kq8k.jpg
只跟basis前面的probability amplitude有關 不懂為何會變成對角 我試著用一個two level system來建 (這個例子是錯的...orz http://i.imgur.com/050phjq.jpg
符合ensemble都是stationary 但density matrix 沒有對角化 想請問我是有哪裡了解錯了嗎@@？ 2.課本118頁第19式 http://i.imgur.com/ajtbLZt.jpg
如果原始的ensemble wave function 沒有normalize 那G operator的期望值是19式 我覺得這邊怪怪的 如果原始ensemble wave function 尚未normalize 那麼G operator 的期望值應該是個別算ensemble的G期望值再相除才對吧 也就是說我認為應該這樣寫 http://i.imgur.com/MaLkRqf.jpg
課本的寫法有點像加權平均 但這樣我只要讓第k個ensemble沒有normalize 並且做平方積分後的值超大 這樣照課本的寫法他就會dominate這個G的期望值 但這樣應該不對吧(還是我觀念錯orz ) 我以為要取ensemble average就是要個別把期望值算出來再平均 在這裡卡好久 以上兩個問題希望各位高手幫忙！！～～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.108 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1461310576.A.972.html ※ 編輯: ocf001497 (140.112.25.108), 04/22/2016 15:43:03
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1：兩個互相commute的operator可以同時對角化
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而你的例子不符合stationary
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對...我剛剛發現了 所以就是每個ensemble 一定只處在特定的eigenstate的意思嗎？ 因此對特定的ensemble挑到不一樣的probability amplitude相乘必得0囉？ ※ 編輯: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:51:02 ※ 編輯: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:53:14 ※ 編輯: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:55:03
推
04/22 18:12, , 3F
不一定要靜態啊，應該比較類似動態平衡吧！
04/22 18:12, 3F
課本上面的 The corresponding ensemble must be stationary不是在說ensemble裡面每一個system 都在stationary state嗎？ 例如說 假設現在basis是H的eigenstate 根據ensemble 必須stationary的條件 ensemble的每個成員可能會長成下面這樣嗎？ ensemble 1 = [1 0 0 0 ...] ensemble 2 = [0 1 0 0 ...] ensemble 3 = [1 0 0 0 ...] ensemble 4 = [0 0 1 0 ...] 我想試著用數學翻譯課本那句話 不知道這樣對不對 ※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 18:19:41 ※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 18:29:06
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回應你對平均的問題：density matrix就是個加權平均
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然後quantum state照定義都一定已經normalized了，所以你害
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怕的事不會發生
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感謝回覆 所以基本上G的期望值就是rho G 的trace嗎 因為他那個公式(沒normalize的ensemble) 是想要表達什麼概念嗎 ※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 22:48:47
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他還真的這麼寫（傻眼
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我想不到任何使用unnormalized state的理由，有人知道的話
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請教育我一下嘿
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但是我可以想到normalization不一樣的情況，例如有些人的
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planewave state會normalize到系統體積去
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所以有n顆粒子的state，norm就是V^n
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這時候比較「大」的state是真的比較大，然後你寫operator
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也要跟著做相應的調整
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所以，不是normalization可以隨便，而是你有道理說得通的話
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density matrix可以容許你區分量子態的「大小」
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恩恩 他如果不寫那個公式的話我可以理解ensemble average 就是 Tr(rho G) 但那個公式 如果不是在您說的「量子態」分大小的情況 那是否會怪怪的呢？ 照他的寫法如果倒著寫回去就不是ensemble average了 ※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 01:05:16
推
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沒normalized還好吧 反正記得最後處理掉就好
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感謝回覆 可是他處理掉的方法(下面直接除Tr(rho) 是不是怪怪的呢？ 感覺應該要對每個unnormalized 的ensemble member 個別處理：算第k個ensemble membe r的G期望值 再除掉第k個ensemble member自己的波函數的平方積分 最後再加總除以ensemble數量 (就是我po的照片那樣 ※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 08:28:40
推
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如果有normalized tr(rho)=1, 也就是說沒normalized時
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必須除掉tr(rho)這樣還是能維持tr(rho)=1
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tr(rho)= 1/N sum_{k=1}^{N} <psi^{k}|psi^{k}>
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rho= 1/N sum_{k=1}^{N} |psi^{k}><psi^{k}|
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所以很明顯tr(rho)=/=1 所以要滿足=1除掉tr(rho)就好了
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推
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rho/tr(rho) is a normalized density operator which
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imdicates that <G>=tr(rho G)/tr(rho)
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indicates
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樓上，就拿 \sum |psi> P(psi) <psi| 這樣的例子來看
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rescale 某個 |psi> --> a |psi> 相當於
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P(psi) --> |a|^2 P(psi)
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重新normalize以後會變成另一個不一樣的density matrix
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我跟wohtp想法一樣 不知道這之中有什麼癥結點 ※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 12:59:26
推
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所以你反而證明了我們的點啊， <psi|psi> 的值是 P(psi)
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的一部分
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如果 |psi> 的 normalization 是 |phi> 的 K 倍，這個 K 也
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會反映在兩個states的機率比上面
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推
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我知道 。課本寫的也沒什麼問題
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推
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其實妳的式子和課本是一樣的 課本其實只是用了一個取
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巧的方式 直接令這個<G> Op.是unit Op.
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唔.. 可是我的式子不是先個別算再平均嗎 課本是直接分母分子自己連加 我看不出來一樣QQQ ※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/24/2016 18:53:52
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sputtering：兩個式子真的不一樣。你要我為這件事賭身家性
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命我也樂意，因為穩贏不輸的不賭是棒鎚 XD
04/24 20:41, 39F
推
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重點是積分波函數結果都是1妳帶進去看看有沒有不一樣
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我是棒槌
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明天我去問問看統物教授好了orz 希望能問出些東西再來分享 ※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/24/2016 23:55:46
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