[問題] 關於Hilbert space的一些問題

看板Physics作者 (Dr.Mouth)時間8年前 (2015/12/13 13:53), 編輯推噓3(3推 0噓 49→)
留言52則, 7人參與, 最新討論串1/1
小弟我最近在學校修物理數學(三) 裡面在介紹一些量物要用到的數學基礎 但是以下兩個名詞我已經查了無數資料但是就是看不懂啊~ 第一個是Hilbert space,我只覺得好像只要是完備的內積空間就是Hilbert space ，但是到底要怎麼判斷一個set有沒有在Hilbert space裡面啊? 還有有沒有什麼更簡易好懂的方法來理解什麼是Hilbert space.... 第二個就是到底要怎麼判斷是否具有完備性，我查到的資料有提到什麼柯西序列的，但是那實在是很難理解的一個東西，有看沒有懂... 跪求板上物理知識雄厚的人們幫我解惑了 能解釋的越簡單理解越好QQ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 120.107.163.217 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1449986017.A.782.html
推
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也可以問數學版看看
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12/14 00:31, , 2F
推文回應都回溯掉了 ╮(╯_╰)╭
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那就再說一次：量力會碰到的Hilbert space，你都當作維度可
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數、有內積的向量空間去想就好了。
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12/14 00:42, , 5F
Hilbert space的定義是把沒有可數基底的空間也包涵進去。
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但是...反正當這些不可數／無限小／無限大造成問題的時候，
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搞物理的第一個直覺就是逃回格點或甜甜圈上面去，把問題變
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成有可數基底 XD
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12/14 00:46, , 9F
所以拿向量空間來當成直覺圖像不會有什麼大問題。
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要是想知道真正的數學意義，你還是先從高微啃起吧
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inner product space ⊂ normed space ⊂ metric space
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↓ ↓ ↓ (完備化)
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Hilbert space ⊂ Banach space ⊂ complete metric
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space
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不知道有沒有錯
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12/14 15:35, , 16F
舉個例子 給定三維向量(1,2,3)跟(4,5,6) 你能找到
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不為零的C1 C2 使C1(1,2,3)+C2(4,5,6)=(7,8,9)嗎?
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如果不行的話表示這兩個向量不是完備的內積空間
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函數的情形也一樣 不過基底是無窮維的 基本上已知的
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就那幾種
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滿足Sturm-Liouville problem所得出的基底都是完備
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基底
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樓上你說的好像有點怪怪的耶...
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12/14 16:36, , 24F
span{(1,2,3), (4,5,6)} 是很乖的二維向量空間。從R^3繼承
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inner product過來的話也是完備的。
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12/14 16:37, , 26F
絕大部分的R^3的確都不在span{(1,2,3), (4,5,6)}裡面，但這
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只是說明{(1,2,3), (4,5,6)}不是R^3的基底
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12/14 17:17, , 28F
你這樣一說我也覺得有點怪..
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12/14 17:23, , 29F
應該說我觀念錯誤 確實是完備的二維向量空間
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推
12/14 18:06, , 30F
除非你對數學有興趣，不然不用管完備是甚麼
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12/14 18:07, , 31F
對物理學家來說，就是個inner product space
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12/14 18:09, , 32F
簡單一點說，完備就是保證所有「應該收斂」的數列收斂
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所謂「應該收斂」的數列就是愈到後面間距愈小，趨於零的
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數列，這種數列就是柯西數列。
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舉個簡單的例子，考慮{1/n}在R\{0}中，它是柯西但不收斂
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12/14 18:14, , 36F
因為我們把0挖掉了。所以完備你可想做是沒有「洞」的空間
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12/15 02:22, , 37F
speedshuffle說的是基底complete 不是分析的complete
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12/15 09:52, , 38F
基底如果完備SPAN的空間可能不是HILBERT SPACE嗎？
12/15 09:52, 38F
推
12/15 11:51, , 39F
我覺得就物理而言，Hilbert 空間的嚴格定義其實沒那麼重
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要。
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不過就是n維線性向量空間，加上一些條件罷了。
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12/15 16:27, , 42F
物理上Hilbert space對基底展開常是無窮級數
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有個取極限的過程 數學上和有限維下的SPAN是不一樣
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12/15 16:31, , 44F
雖然這是很枝微末節的細節 不過嚴格來說Hilbertian
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12/15 16:32, , 45F
basis不是complete basis
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12/15 16:33, , 46F
分析上的complete僅是保證這個取極限的動作會收斂
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12/15 17:06, , 47F
所以如果有一函數對其基底展開成無窮級數 可是她的
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12/15 17:08, , 48F
NORM值不存在 也就是說平方不可積 那此級數必定發散
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12/15 17:08, , 49F
所以這組基底的內積空間就不是HILBER SPACE？
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12/16 02:48, , 50F
看不懂你的問題 1.SPAN本身的定義是有窮和 所以基底
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12/16 02:49, , 51F
的SPAN要完備化(加入極限點)才會是Hilbert space
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12/16 02:50, , 52F
2.即使此你那個函數還是不在這個空間裡啊
12/16 02:50, 52F
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