[問題] Permutation group in physics.

看板Physics作者 (pete)時間10年前 (2015/06/25 11:56), 10年前編輯推噓5(5推 0噓 24→)
留言29則, 3人參與, 最新討論串1/1
我們都知道電子(費米子)的波函數具有反對稱的性質 這個反對稱的性質來自於交換兩個不同電子間的座標而來 因為電子屬於全同粒子. 所以我們可以利用[H,Permutation symmetry operator]=0 的對稱性找解 來建構電子的波函數. 我很納悶的是為什麼原分子物理似乎不是走permutation group這個方向 而是走rotation group 居多? 因為原子有球對稱所以 [H,Rotation operator]=0 我們一樣可以用來建構電子的波函數,這波函數就是有名的spherical harmonics 我發現95%的人都是走第二條路(用球對稱找解) 用permutation group 找解是比較複雜嗎??? 為什麼很少人用???? 感謝!!!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.115.30.19 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1435204619.A.B51.html ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 06/25/2015 11:57:22 ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 06/25/2015 12:03:18 ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 06/25/2015 12:09:50
推
06/25 12:35, , 1F
這兩個有衝突嗎? 位能有球對稱 單電子波函數是球諧函數
06/25 12:35, 1F
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06/25 12:37, , 2F
多電子時總波函數在滿足permutataion關係
06/25 12:37, 2F
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ through Pauli exclusion principle?? 能否先求出滿足permutation symmetry的本徵函數 再刪掉不滿足球對稱的解? 理論上應該只是先後順序上的問題 ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 06/25/2015 12:54:27
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06/25 12:53, , 3F
yes
06/25 12:53, 3F
這似乎是大部分人95%以上的做法 那先用permutation symmetry找本徵態並從中要求滿足球對稱的解 結論會相同嗎? 怎麼好像比較少看到這種方式的解法? ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 06/25/2015 12:59:11
推
06/25 12:58, , 4F
舉例 用交換算符可以得到雙電子自旋的波函數必須是S or T
06/25 12:58, 4F
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06/25 12:58, , 5F
但是spatial part 還是要從Hamiltonian的性質下手
06/25 12:58, 5F
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06/25 15:59, , 6F
你用permutation group給我找氫原子的解看看...
06/25 15:59, 6F
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06/25 16:00, , 7F
只有一顆電子你是要跟什麼東西permute？
06/25 16:00, 7F
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光這個反例就可以看到，permutation group給的constraint
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06/25 16:02, , 9F
不夠你解薛丁格。
06/25 16:02, 9F
球對稱被破壞的多電子系統呢? 先求交換算符的本徵態是否比較有用? ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 06/25/2015 16:23:30
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你覺得交換算符的本徵態長什麼樣子？
06/25 16:30, 10F
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06/25 16:31, , 11F
考慮兩顆電子就好。先寫出來，你就知道這東西能怎麼用了。
06/25 16:31, 11F
因為Permutation group 也是一種有限群 所以之前研究分子點群的經驗和方法應該適用 首先先定義你的系統電子數決定Permutation group 為何 接著決定你的系統的basis function要選什麼 再來就可以算出character sum 和用Reduction Formula 去把Reducible representation decompose成 Irreducible Representation(IRRs) 知道IRRs之後就可以用Projection Opertor去求出所有的IRRs的Exact solutions. 有了這些IRRs 就能算其對應的能量和系統總能 不過 當系統電子數目很多的時候,可能必須用電腦方便求解 我想問的是 大部分的研究都是從spatial symmetry 著手 好像比較少從Permutation symmetry開始 理由不詳! 如果系統沒有結構上的對稱性,似乎permutation symmetry是個不錯的切入點! ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 06/25/2015 17:08:04
推
06/25 17:17, , 12F
考慮個極端例子 H=0 N個電子 利用交換算符會得到什麼波
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函數？
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兩個電子的狀況哪有那麼多囉嗦的...
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permutation group 只有 {I, a} 滿足 a*a = I
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然後 a 作用在波函數上面只能是 ±1
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假如我還要求連續可微，本徵態應該就是
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+1: ψ(x1, x2) = f(x1) + f(x2) + S(x1-x2)
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-1: ψ(x1, x2) = g(x1) - g(x2) + T(x1 - x2)
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f, g, S, T 連續可微，S even， T odd
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要更詳細的就沒了。
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所以說，光是在做計算之前寫一個ansatz就可以把permutation
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group用到光了。
06/25 17:36, 23F
兩個電子系統的處理方式比較直覺 3~n個電子的系統沒那麼容易處理 需要用到很多群論 對稱性的概念去掉一些選項 我這裡有一本書 Group Theory: Application to physics of condensed matter 裡面有提到3~5個電子的範例(用permutation group) 有興趣的可以翻看看,在第17章 作者是用spatial wave function 和 spin wave function的乘積必須滿足反對稱 來推出所以的可能波函數解.
推
06/25 18:21, , 24F
用second quantization的anticommutation realation
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06/25 18:21, , 25F
也就你要的permutation symmetry的本徵態
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感謝各位!! 我在參考看看
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06/25 23:37, , 26F
我的意思就是說，通常在開始計算之前寫出來的ansatz就已經
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06/25 23:38, , 27F
是permutation的本徵態了。
06/25 23:38, 27F
Got it.. thanks!! ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 06/26/2015 09:53:00
推
06/27 14:11, , 28F
spin 和 spatial 要分開處理的話，事情會變複雜，不過也不
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06/27 14:11, , 29F
是沒人研究過就是了
06/27 14:11, 29F
一般原分子的處理方式不就是先處理spatial part 再用Hund's rule去填滿電子 作為處理spin part的手段? 我覺得同時處理spin和spatial part 更複雜吧?? ※ 編輯: peter308 (140.115.30.19), 07/01/2015 11:52:42
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