Re: [請益] Quantum Hall Effect and Topology

看板Physics作者aesth (應該很帥吧)時間13年前 (2012/11/06 02:50)推噓1(1推 0噓 42→)

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小弟沒有很懂，有很多細節也都忘了，但加減回答一下可能沒回答到根本的核心，可以再討論 ※ 引述《ijsfkira (ijsfkira)》之銘言： : 但有幾個問題我不太理解... : 1.Chern number必須是整數所以這套方法似乎不能用在FQHE裡? : 那對於FQHE 有沒有類似的推廣用以解釋分數的由來? : 2.我也讀過關於分數量子效應的有效場論但大概僅只知道這可以解釋一堆現象而已 : 頂多知道它在某些情況怎麼被微觀導出(Yoshioka那本書的程度) : 所以我一直好奇─雖然這可能是個笨問題...(畢竟我也不是很懂)─ : Chern-Simons term出現在物理裡頭最大的物理因素究竟是甚麼啊? : 我的意思是好比說我知道像U(1)gauge invariance要求我跑出一項電磁作用 : 那麼是不是有甚麼原則藏在Chern Simons term裡? 當many-body wavefunction做unitary transformation後，fermionic WF變成bosonic WF Ψ(x1,x2,..,xN) = Uψ(x1,x2,...,xN), U = exp{ -i(θ/π)Σα_{ij} } Ψ(x2,x1,..,xN) = -Ψ(x1,x2,..,xN), ψ(x2,x1,...,xN) = ψ(x1,x2,...,xN) 其中θ=π(2n+1)，fractional charge的主因 H → H = 1/2m Σ[p_i - e*A(x_i) - e*a(x_i)] + V A: EM gauge field, a = (Φ_0/2π)*(θ/π)Σ grad_j[α_{ij}] : new gaue field quantum flux Φ_0=h/e == 2π 詳情見書 αβ a滿足ε ∂ a (x) = (Φ_0)*(θ/π)*ρ(x), ρ(x) : charge density α β 注意每個粒子上附著 a-flux，因此當一粒子(boson)繞另一個粒子時除了得到AB phase, Φ=B*A，還包含a-flux造成的phase (fractional statistics) 平均場的解為ρ(x)=ρ_0, average density, 以及 A+a=0 也滿足filling factor, ν=Ne/(Φ/Φ_0) = 1/(2n+1) 考慮fluctuation，A+a=δa, δρ可由以下得到 αβ ε ∂ δa (x) = (Φ_0)*(θ/π)*δρ(x) α β 帶入second quatization Schordinger equation + ... 就可以得到Chern-Simons Langrangian with Cherm-Simons term μνλ ε a ∂ a μ ν λ or written as the nonlocal Hopf term μνλ ε j (∂^-2) ∂ j μ ν λ 我想主要是因為是2+1 dim，particle conservation ∂j=0 正好讓2+1 particle density (current)用 ∂a 表示 (也隱含fractional charge) 而 j=-grad A 成立時，表示有超流(這裡要做個轉換)，也會出現在QHE : ? 可是我記得TKNN的argument有一項很重要的前提是:基態是非簡併的 : 對於有些像是Non-Abelian的case 基態不是得要簡併嗎? : 我也不是很理解"積分沒積完整"詳細是甚麼情形@@ : 它不是先積完整個BZ 才對填滿的band加總嗎? 不填滿的band到底會有甚麼情況? 這裡跟Non-Abelian沒什麼關係 Integral filling, GS WF就只有一種，是把LLL填滿，所以degeneracy=1 fractional filling很明顯，GS簡併度不等於一(多少電子分配flux的可能) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.114.94.141

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