Re: [問題] 圓盤導體中心上方電壓求法?
※ 引述《johnoldman (嗶嗶嗶)》之銘言：
: 請問若一半徑為a
: 厚度極小之導體圓盤與xy平面平行
: 表面電荷非均勻分佈,
: 如何求中心上方z處之電壓??
: 電荷分佈與曲率成正比
: 公式如下~
: Q
: σ(x,y,z) = --------------------------------------------------------
: 4πabc { (x^2 /a^4 ) + (y^2 /b^4) + (z^2 /c^4)
: 感謝耐心看完題目
(導體只有面電荷密度吧)
要變成圓盤，也就是c→0，而 1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2) = (z^2/c^2) [橢球]
Q
=> σ(x,y) = ───────────────────────────────
4πab[c^2(x^2/a^4)+c^2(y^2/b^4)+1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)]^(1/2)
c→0 Q
======> σ(x,y) = ────────────────── (兩面，所以乘以2了)
2πab[1-(x^2/a^2)-(y^2/b^2)]^(1/2)
現在，導體為圓盤，也就是 a = b，且定義 r ≡ (x^2+y^2)^(1/2)
Q
=> σ(r) = ────────── (note:導體在尖點(r=R)處電荷密度無限大)
2πa(a^2-r^2)^(1/2)
1 a σ(x,y)2πrdr
=> V = ───∫ ─────────
4πε 0 (z^2+r^2)^(1/2)
Q a rdr
= ────∫ ─────────────────
4πεa 0 (a^2-r^2)^(1/2) (z^2+r^2)^(1/2)
= ......... (積分給mathematica算了)
-1
Q tan (a/z)
= ───────
4πεa
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推
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不用，上面的面電荷密度乘以2的原因是原本橢球上下兩個表面是分開的
現在取c趨近於0，也就是上下兩表面的電荷已經合在一起了，所以乘以2
而求電容時，Q = CV，這個V是指電位差，即V在z=0處到z=∞處的差值
=> △V = |V(z=0)-V(z=∞)| = (π/2)-0 = π/2
=> C = Q/(π/2) = 2Q/π
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7年前
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6年前
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