[題目] 質量彈簧的位能形式
[領域] 古典力學 action
[來源] 教授給的題目
[題目]
考慮一條質量均勻分布的彈簧，其線密度為μ、楊氏係數為Y，
在受力時原來在x處的點會跑到x+η(x,t)處，0≦x≦L。
彈簧的一端掛上一個質量為m的質點，以η(x,t)表示彈簧的位能。
以上只是題目的一部份。
如果上述題目不夠完整，最下面有完整的題目。
[瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
這題要用變分法，而且是2獨立變元的變分法。
先列出L=T-U，再放入∫L dt=∫∫f dx dt
前面的動能我已經列出來了，只要能列出L之後，
變分法我會解，所以後面微分方程我自己來就可以了。
可是我卡在位能。
不管我怎麼列，我都覺得很怪。
我一開始列了一個錯的：
F/A A A 1
楊氏係數 Y = ─── F = Y ─ΔL = Y ─ x = kx U = ─ kx^2
ΔL/L L L 2
A
F = - Y ─η(x,t)
L
1 A
U = ─ Y ─η^2 ------->這是錯的 老師說 我最後變分法算出來的η不對
2 L 老師說應該是位能錯了
老師也給我提示，但給完後，我還是不知道怎麼積分。>"<
老師要我先列出x->x+dx之間，積分範圍從0到L。
x -> x+Δx
x+η(x,t) -> x+Δx+η(x+Δx,t)
dη
( 1 + ─── )dx
dx
我寫到這本來很高興...但是發現好怪...被積函數是要放什麼東西才能積分??
我還有列很多奇怪的位能形式，感覺似乎都不太對...囧rz
譬如
A L x L 0
F = - Y ─η(x,t) U = ∫ ∫ F dx dx or U = ∫ ∫ F dη dx
x 0 x+η 0 η
我也不知道怎麼用到老師給我的(1+η')dx
我已經無力了...
問同學也沒什麼辦法........囧...
題目全文：
考慮一條質量均勻分布的彈簧，其線密度為μ、楊氏係數為Y，
在受力時原來在x處的點會跑到x+η(x,t)處，0≦x≦L。
將彈簧固定在一根光滑的桿子上，使得彈簧的一端掛上一個質量為m的質點，
並以彈簧的另一端為中心，只彈簧做角速度為ω的旋轉，求平衡狀態下，
彈簧伸長量η(x,t)的函數形式。
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