[轉錄]Re: [分析] 為什麼要用張量 ???
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作者: Intercome (今天的我小帥) 看板: Math
標題: Re: [分析] 為什麼要用張量 ???
時間: Fri Apr 11 01:33:22 2008
※ 引述《newid123 (.)》之銘言：
: 大家好, 我在市面上有看到蠻多張量分析的書,
: 我的疑問不是在那些複雜的計算, 而是 ... 為什麼 ?
: 假如不用張量會解決不了問題嗎 ?
: 我的問題在於why, 而不在於how,
: 我知道會有人說, "因為某某問題要用張量解, 因為相對論是用張量分析 ......"
: 但是這樣的回答只是在回答how, 卻沒有回答why, 有人可以幫我解答嗎
廣義相對論是將牛頓的萬有引力定律包含在狹義相對論的原有框架中，
引力場和加速場是等效。把太空船艙放在引力場中的, 和它在無引力場的太空中作加速
度運動時, 這兩種狀況下的艙內物理環境, 可以等同視之。而探討此問題需要考慮到有
名的"弦論"， 弦論（String Theory）是這十幾年來席捲理論物理的一場大風暴，
它的威力之強與性質之奇都是前所未見的。相信弦論的人將其視為「最終理論」，
認定它涵蓋了所有基本物理現象。有這種大氣魄的理論不多，其中多數已經「陣亡」。
只有弦論生命力強韌，不僅生存下來，還成為學術的主流。今日當紅的高能理論物理學
家大多是弦論專家，盼望成為下一個愛因斯坦的學生也一窩蜂地擁抱弦論。
弦論唯一的弱點在於至今還沒有任何實驗證據的支持。頗違逆傳統地，這個理應致命的
弱點卻沒有妨礙弦論的霸業。要了解如此奇特的現象得從弦論的起源講起。一個標準的
故事是這樣的：二十世紀物理有兩大基石——量子力學和相對論。前者處理微觀世界的
現象；從分子、原子以下到最小的基本粒子，其性質與行為，都可以用量子力學方程式
精準的描述。在這個架構下，基本粒子是沒有大小的點粒子。至目前止，無數的理論預
測與實驗結果都還沒有相互牴觸。
張量的概念是從向量的概念中產生出來的。用一個類比來開始對張量的討論。設想在一
個理想的金融世界中，各國貨幣的交換有穩定匯率，沒有稅金、手續費等等扣除。假設
把154.72美元換成另一國的貨幣，再換成另外一國的貨幣，如此繼續下去。從每個不同
的國家得到數量不等的錢，然而都和原來的154.72美元價值相同。所有這些錢有著相等
的關係。在某種意義上，這些不同國家的不同數量的錢代表了一種抽象的客觀的「價值
」，可以認為這種價值是不依賴於貨幣的。把一種貨幣換成另一種貨幣的數學規則有兩
個重要性質。第一，如果從一種貨幣開始，經過多次交換之後又回到原來的貨幣，那麼
最後得到的錢與開始時的錢的數量是一樣的。為說明第二個性質，假定開始時在3個信封
內裝了數量分別為A、B、C的貨幣。比如說，A是12比塞塔(peseta,西班牙貨幣單位)，B
是4比塞塔，C是11比塞塔，因而2A＋5B=4C. 那麼在分別換成另一種別的貨幣後，它們的
數量間仍有上面的關係。這種關係與使用哪種貨幣是無關的。
在向量分析中，向量表現為一種可以用箭矢表示並能按平行四邊形法則相結合的量。由
於這個法則，向量有分量，而且當坐標系改變的時候，向量的分量按照由平行四邊形法
則導出的一種數學變換規律而變換。這種分量的變換規律有兩個重要性質︰1.如果從一
個特殊的坐標系出發，經過一系列坐標變換又回到原來的坐標系，最終得到的向量分量
與開始時是一樣的。2.設有三個向量U、V、W,滿足2U＋5V=4W. 那麼分量也具有這種關係
，不論我們用的是哪個坐標系。因而可以把向量設想為n維空間中具有n個分量的一個量，
這些分量按照具有上述性質的變換規律進行變換，而向量本身則是不依賴於坐標系的客
觀的量。
從向量推廣到張量的步驟是這樣的︰抽象地定義張量為具有分量的一個客觀量，這些分
量按照一種變換規律進行變化。這個變換規律是向量變換規律的推廣，它保存了原有的
兩個關鍵性質。為了方便，坐標用從1到n的數目編號(n維空間)，而一個張量的各個分量
用一個具有上標和下標的字母來表示，每一個上標或下標可以獨立地取從1到n中的數值
。這樣，用分量Tabc來表示的一 個張量就有n3個分量，因為字母a、b、c分別可以取1到
n中的任何值。標量和向量都是張量的特例，標量是零階張量，它在每個坐標系中只有n0
=1個分量，向量是1階張量，它有n1=n個分量。張量的分量間的任何線性關係，例如
7Rabcd＋2Sabcd-3Tabcd=0,只要在一個坐標系中成立就在所有坐標系中成立，因而這種
關係就是客觀的和不依賴於坐標系的，儘管我們缺少可以表現這種關係的圖形。有兩種
張量，度量張量和曲率張量，特別使人感興趣。度量張量是用於把向量的分量轉換成向
量的長度。為簡單起見，考慮具有垂直坐標的二維情形。設向量V具有分量V1和V2。對直
角三角形OAP應用畢達哥拉斯定理，可以求出V的長度的平方︰OP2=(V1)2＋(V2)2.度量張
量就隱藏在這個方程裡，把方程重寫成︰OP2=1(V1)2＋0V1V2＋0V2V1＋1(V2)2,度量張量
的分量在這裡是1、0、0、1.如果使用非直交坐標系，OP2的表達式的一般形式是︰OP2=
g11(V1)2＋g12V1V2＋g21V2V1＋g22(V2)2,其中g11、g12、g21、g22是度量張量的新分量
。從度量張量可以構造出曲率張量這一複雜的張量。這種張量代表了n維空間的內蘊曲率
的各個方面。
張量在幾何與物理中有許多應用。愛因斯坦在建立廣義相對論時曾論證道，物理定律必
在任何坐標系中都是相同的。這導致他用張量方程來表達物理定律。從他的狹義相對論
已經知道，時間和空間非常緊密地相互關聯，形成了一個不可分割的四維時空。愛因斯
坦作了一個重要判斷，這就是引力應該只由四維時空的度量張量來確定。為了表達相對
論的引力定律，他以度量張量及由之產生的曲率張量為構成因素，廣義相對論的一個美
妙之處就在於愛因斯坦只使用上述構成因素，使他導出了一個在這種條件下本質上是唯
一的關於引力定律的張量方程。在其中引力不是作為一種力出現，而是作為時空曲率的
一種表現形式。人們早已經對張量進行過研究，然而愛因斯坦廣義相對論的成功引起了
數學家和物理學家對於張量及其應用的更廣泛的興趣。
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