[轉錄] 沒錢真慘
課程名稱︰隨機程序及應用
課程性質︰選修
課程教師︰葉丙成
開課學院：電資學院
開課系所︰電信所
考試日期（年月日）︰2009.12.16
考試時限（分鐘）：180+40(延長)
是否需發放獎勵金：是，謝謝
（如未明確表示，則不予發放）
2.(以下情節純屬虛構)
在某校後門附近有一家餐廳「沒錢真慘」，餐廳內共有四桌，生意相當不錯。一旦滿
桌，新來的客人通常直接去相鄰的「沒錢卡是慘」餐廳用餐。故「沒錢卡是慘」老闆
對於「沒錢真慘」的生意狀況相當在意，時常派老闆娘偷偷打探。
根據「沒錢卡是慘」老闆娘的觀察，在中午以十五分鐘為單位時間，「沒錢真慘」在
每單位時間內有一組客人去吃飯的機率為p1，有兩組客人上門之機率為p2。老闆娘鮮
少見到十五分鐘內來超過兩組客人的情形發生（Hint: 由此可知沒有人來的機率？）。
同組客人多為某校同研究室學生，這些學生習性多是坐於同桌用餐。用餐時間平均需
要一個單位時間左右，因此鮮少在到達的該單位時間內用完餐。
「沒錢卡是慘」老闆娘發現到某校學生用餐習性實在相當糟糕，用完餐後常常坐著聊
天，對於自己已佔桌多久似乎完全沒有記憶。往往都是同桌學生有人想到該離開了才
會整桌離開。平均而言，在到達餐廳後的接下來的每一個單位時間內同桌學生中會有
人想到該離開餐廳的機率為 q（Hint: 若有 n桌客人，每單位時間有 k桌人離開之機
率為何種分佈？）。
(a) (10%) 讓「沒錢卡是慘」的老闆相當在意的是「沒錢真慘」每個單位時間中客人
的總桌數，某日某生與同學去「沒錢卡是慘」用餐聊天時被老闆聽到正在修隨機
程序。老闆心中大喜，拜託某生幫他建立「沒錢真慘」用餐桌數的馬可夫模型。
請你幫某生畫出該模型的 state diagram。
(b) ( 5%) 「沒錢真慘」老闆對於學生佔桌聊天，致使滿桌後流失客人到「沒錢卡是
慘」，內心耿耿於懷，對此心生一計。每當「沒錢真慘」滿桌時，餐廳內冷氣常
會莫名的故障，直到客人桌數在兩桌以下（包含兩桌）才恢復正常。某校學生相
當不耐熱，冷氣故障後會想到要離開的機率成為兩倍2q。請你幫某生畫出新模型
的 state diagram。
(c) ( 5%) 「沒錢卡是慘」老闆決定跟「沒錢真慘」槓上了，只要老闆娘發現「沒錢
真慘」用餐桌數有三桌以上（包含三桌），「沒錢卡是慘」便會推出五折大優惠
的活動，直到「沒錢真慘」降到兩桌以下（包含兩桌）才恢復正常。某校學生相
當貪小便宜，對餐廳毫無忠誠度可言。在「沒錢卡是慘」有五折大優惠時會去「
沒錢真慘」用餐的機率大減成為每單位時間內有一組客人上門之機率為 0.1p1，
有兩組客人上門之機率為 0.1p2。請你幫某生畫出新模型的 state diagram。（
Note: 冷氣搞鬼依然不變）
(d) ( 5%) （加分題，建議有時間再做）
「沒錢卡是慘」老闆娘每次看到「沒錢真慘」滿桌，心情就會很惡劣。回來店內
往往對「沒錢卡是慘」老闆呼來喝去，手打腳踢，讓老闆苦不堪言。老闆娘的惡
劣心情往往要等到「沒錢真慘」沒有滿桌後才會恢復正常。「沒錢卡是慘」老闆
為有效掌握老闆娘在各單位時間內之心理狀態，另委由某生幫他建立老闆娘心理
狀態之 two-state（正常、惡劣）馬可夫模型。請你幫某生畫出新模型的 state
diagram。 （Note: 冷氣搞鬼依然不變）
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