[評價] 110-1 張志中分析導論一

看板NTUcourse作者alan23273850 (God of Computer Science)時間2年前 (2022/02/10 01:58)推噓14(14推 0噓 17→)

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※ 本文是否可提供臺大同學轉作其他非營利用途？（須保留原作者 ID）（是／否／其他條件）：是　　　　限用轉貼 PTT 連結之方式，也就是必須保留原出處。哪一學年度修課：110-1 ψ 授課教師 (若為多人合授請寫開課教師，以方便收錄) 數學系張志中老師 λ 開課系所與授課對象 (是否為必修或通識課 / 內容是否與某些背景相關) 數學系大二必修、經濟系所選修 (聽說有擔任其他科目助教的經濟系所菸酒生選修) δ 課程大概內容 Chapter 1. The Real and Complex Number Systems Chapter 2. Basic Topology Chapter 3. Numerical Sequences and Series Chapter 4. Continuity Chapter 5. Differentiation Chapter 6. The Riemann-Stieltjes Integral Chapter 7. Sequences and Series of Functions (這學期講到 Theorem 7.17，原本以為只會講到第六章而已，但進度偏快我喜歡 ♡♡♡) Ω 私心推薦指數(以五分計) ★ * n, as n goes to infinity. (我這學期大部分的時間都投注在這門課上了，包括大部分的休息時間，以及此時此刻，不知道為何，剛好這個年紀就突然對分析很感興趣很想弄懂。) 想以 Rudin 作為教材基底 ★★★★★ 個人認為 Rudin 的字很少，重點很容易就呈現出來，而且是經典用書，很適合自己讀完後在空白處加個心得隨筆，對我這種有輕微文字閱讀障礙的人來說 Rudin 還蠻棒 der。如果開放旁聽 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ (這個我之後會提，還蠻有趣的 XD 本人沒有修課但還是有和某位修課同學一同努力) 如果想要花超級多時間寫作業，或藉由作業內容抓課程重點，當然都是滿天星 ★★★★★ 老師出的作業都是精華中的精華，每一題後面會提示希望同學弄懂什麼觀念，如果 Rudin 和 Apostol 題目相同的話會一併列出題號，內容設計有些也有許多巧思，全部作完瞭解透徹，功力一定 UP UP，由此可見老師的用心良苦。(但是真的蠻花時間的，有時候要斟酌一下，像我沒修課的話可能只寫下 key idea 就好，不要求 formal writing，或者是跳過一些較無代表性的題目等等。我打算下學期再也不要花這麼多時間在作業上了XD) 相反地，如同前一篇心得文 #1Xxe64L7 所提到，想要手把手教學，或者是主張輕鬆學習的同學，可能就比較適合修習其他老師所開的課程。總之，我主觀認為以一位正常大二同學來說應該算是偏重。 (我不喜歡稱之為評價文，因為老師備課很辛苦，身為一個學生，或者說，知識的既得利益者，沒有資格去「評價」教授準備的課程，我們自己都沒辦法每週四個小時站在台上侃侃而談了，又怎麼能用高標準檢視他人是否達到自己的要求呢。) 甜度的部分，因為我沒修課，這部分無法提供意見，或者是等有修課的同學提供想法。 η 上課用書(影印講義或是指定教科書) 1. Textbook: W. Rudin: Principles of mathematical analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. 東華書局代理，電話：2311-4027 2. Reference: * T. M. Apostol: Mathematical analysis. * Understanding Analysis by S. Abbott. 2nd edition, Springer, 2015. 上課內容以 1 為主軸，遇到需要補充的部分 (例如 Rudin 證明不夠好懂？) 或作業取材就會用到 2。這三本書網路上都找得到友善數位版，而且不難找。 μ 上課方式(投影片、團體討論、老師教學風格) * 正課部分：前三週疫情期間看概要影片，解禁之後在 11/09 之前只上星期二的實體課，之後才全面復課。實體課就是採典型數學系的板書授課風格，如同 #1NiSlEK_ 這篇 104 年的心得文所說：老師的板書是自洽的，內容就大概依照 Rudin 的順序，當 Rudin 的證明方法比較難懂時會換比較好理解的證明手段。另外一位也修過志中老師 104 年分導的林同學也說，當 Rudin 書上的定理證明比較迂迴的時候，老師一講我 (他) 就懂了。仔細觀察會發現，雖然老師比較資深，但寫板書的手速其實蠻快的，比我在 GoodNotes 上寫字還要快 XD 至於我自己上課是屬於那種比較注意力不集中的人，所以通常是同時搭著課本一起看，那回去複習的時候再參考我這學期 collaborator (以下簡稱王同學，a.k.a. 台大交流版上曾經發文詢問加簽事宜的學分孤兒) 放在 GoodNotes 上的筆記，他的筆記真的很整齊 ♡ ♡♡ * 助教課部分：這學期有三個班，這門課好像統稱它為習題課吧，因為重點還是放在講解作業題目上面。前三週採 Google Meet 授課，解禁後採實體授課，然後這邊就要稍微解釋一下前面提到的如果開放旁聽就 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 是什麼意思。首先呢，這門課其實是不開放旁聽的，所以課程網站權限僅在前三週對外開放，解禁後就僅限修課同學觀看，我就趁這段期間跟著練習網站上面的作業題目，然後用自己的 Google account 默默地跟著其中一個班，這個時候助教應該發現有個旁聽仔沒修課結果也跟著練, 等到解禁之後我就硬著頭皮寄信跟我所 follow 的助教詢問說可不可以註冊習題課的座位, 助教還很貼心地幫我問了老師可不可以聽實體課，結果老師說不行，所以在期中考之前我都只有參加習題課還有王同學提供的作業題目以及上課資訊，等到期中之後才正式地看到老師本人還有參與正課。 (這一段主要是想提助教超級貼心 ♡♡♡這件事，如果是我回覆我自己的信可能不會考慮到這麼多細節，這門課的助教讓我知道，我要學習的地方還很多。) 就習題課本身而言，大體上應該就是同學講解作業 → 助教幫忙 debug → 助教提示重點或另解，這樣子的循環，可能順便作一下課外補充。這部分就隨助教而異。我也不喜歡學人家說，助教課可以試聽去選擇適合自己風格的班級，因為提供服務的學長姊很辛苦還要被選擇，好像哪裡怪怪的。回歸正題，老實說因為我本身已經不在學齡 (18-22) 階段，導致實體習題課時就會有一點小小的彆扭，畢竟沒辦法如同疫情期間用 Google Meet 上課時，在螢幕背後當一位剛透過特殊選材管道入學的抬大樹學系暖心大一學妹，不過儘管如此我仍然獲益良多，如果真的要用一句話來認真概括，那就是助教們在我的心目中都是我嚮往成為楷模的學長姊，而在這門課的範圍內，就比較偏向是大家長的角色。 σ 評分方式(給分甜嗎？是紮實分？) 20% 作業 10% 習題課講解 35% 期中 35% 期末 (以上拷貝自前一篇心得文 #1Xxe64L7，但我沒修課，對這個部分就比較不 sensitive。) 根據修課同學經驗，原始分數 → 60- 會被調成 C+，我猜只要五十分以上就有機會通過。 (Please notice that my writing will often be in a limit fashion in order to fit the style of this course.) ρ 考題型式、作業方式作業的部分，就是除了期中期末考週之外每週出，隔週一晚上十點繳交，除了接近期中的 HW8 一次爆量給了大家將近一個月的時間完成。範本可以看我在文末附的連結 (因為某些原因我 HW1 和 HW10 沒有完成)。這學期好像還規定要用 Latex 打成 pdf，聽起來就很花時間。每一份都有分成 Exercise: 自行演練，毋須繳交和 Homework: 需要繳交兩部分，但是因為光 Homework 的部分就已經吃不消了，根本無暇顧及 Exercise，我記得有一次助教還有提醒同學要看 squeeze theorem 和 limit comparison theorem。這邊順便提一下攻略的部分，每一題作業因為都是經典名題，通常網路上都找得到答案，既然如此那有系統的找法就很重要。 * Rudin 可以參考： https://www.facebook.com/groups/120223891488/search/?q=Rudin https://drive.google.com/file/d/15vOGJ2Ica2zzlkyXkDglRdeskwJFuHhU/view * Apostol 可以參考： https://www.csie.ntu.edu.tw/~b89089/solution.html 兩個連結都是同一位大佬維護的。因為 Rudin 有更新過 (原本的錯誤率很高，更新之後的正確率提高許多，現在幾乎是完全可信)，所以這邊放新的連結。再不滿意的話就把 (書名 + 題號) 或 (題目內容) 拿去餵狗 (Google)，StackExchange 會給你很滿意的答案，但是要認真找，萬一找到不好理解的會很吃時間而且沒幫助，經過這門課之後搜尋解答/文章的功力會大增。(有個現象很神奇，期末結束到我打心得文這段期間我把學期中寫得很爛的作業題目重新檢討，發現幾乎都有更好的解法出現，很多還都是自己忽然發現，咦？這題明明可以這樣解，怎麼我當初都沒發現，這樣。這顯示了數學確實需要時間消化，而且新學期都還沒開始就已經有效果了。) 這學期沒有小考。(聽說下學期會有？) 期中考範圍 Chapter 2 - 3，期末考範圍 Chapter 4 - 6。題目我都有大致看過，除少數一兩題魔王題之外，其他大概都知道解法，整體而言難度個人認為中間再往上偏一點點點 (偶有課外、需要動腦)，複習的時候如果重點抓得很對 (？) 的話應該還是能考得不錯，只是抓重點也很吃經驗，而且老師常出上課有補充但課本沒有的東西 (例如 sequentially compact ==> compact 的證明、推廣分部積分 ==> 推廣 Dirichlet's Test 的證明等)，這樣應該就知道下學期的期考要怎麼準備了吧。 p.s. 這一兩週內如果我有空的話會把期考的題目＋自己的參考作法貼到考古題版，期中考優先。 ω 其它(是否注重出席率？如果為外系選修，需先有什麼基礎較好嗎？老師個性？加簽習慣？嚴禁遲到等…) 好，然後這部分才是我這篇文章的重頭戲。前一篇心得文 #1Xxe64L7 有人說缺乏手把手的教學，也有人說數學課要在課堂上弄懂很困難，絕大多數還是要靠自己唸，衝著這些留言我把這學期習得的課程精要放在這一區，基本上就是名詞解釋，定理統整，證明技巧，和老師派的作業連結起來，加上我自己的一些消化，一章一章的循環，把整個課程走過一遍. ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 1. The Real and Complex Number Systems 第一章作為書本的開端，目的是為了給一般普羅大眾所熟知的實數集 R，一個邏輯嚴謹的封閉代數結構去解釋/迎合那些日常生活中經常使用到的運算規則。書中先行證明了有理數集 Q 搭配其運算規則是一個有序體 (ordered field)，也就是同時具備 (有序集:ordered set)、(體:field)、(加法:等量公理)、(乘法:正正得正) 四要素. 但是有一個經典範例：{q∈Q+ | q^2<2} 不存在最小上界、{q∈Q+ | q^2>2} 不存在最大下界，告訴我們 Q 其實是有漏洞 (gap) 的，因此有必要再把 Q 擴展到一個更完備的有序體，這邊完備的意思是，每一個有上界的非空子集皆有最小上界 (the least-upper-bound property，簡稱 l-u-b 特性)。 Note. 由於本章的重點在於 l-u-b，封閉代數結構只是一個嚴謹性的必須，非分析重點，因此只要是跟 field 相關的 axiom、proposition 或 proof 稍微瀏覽過就好，不用記。 Q. 什麼樣的數學事實如果缺乏 l-u-b 的話會不成立呢？由這個問題的回答便可以讓人體會到 l-u-b 的重要。目前廣為人知的擴展方式，根據書本所述，有 Cantor 和 Dedekind 兩人所發明之方法，但是無論是哪種擴展方式，都是為了要讓 R 是個有 l-u-b 特性的 ordered field。課本介紹的是 Dedekind 方法：他用一些 Q 的子集合 {q∈Q | q<r} 去代表每個實數 r，舉例來說，{q∈Q | q<π} 被拿來代表π，{q∈Q | q<3} 被拿來代表 3 等等。而這樣的建構方式被證明為滿足 ordered field 的條件以及 l-u-b 特性，前者的證明不稀奇，可自行參見課本，下一段只解釋為何會滿足 l-u-b 特性 (課本第 18 頁的 Step 3)。考慮一個 R 的非空有上界子集 A = {{q∈Q | q<r} | r∈A}，將 A 裡面的每個集合聯集起來會得到γ= {q∈Q | q<γ} 其實也會是一個實數，理由要看課本，但重點在於因為γ 本身是個上界 (它包含了每個子集 {q∈Q | q<r} for all r∈A)，而且任何比γ小的實數 δ (的內容物一定會漏掉某個γ的內容物所包含的有理數 q，但是這個 q 一定又會被某個 α∈A 的內容物 {q∈Q | q<α} 所包含，所以) 勢必不是上界，故γ是 A 的最小上界。從 R 中萃取出代表 Q 的那些人，其運算也會和純粹的 Q (那些不是用集合代表的有理數) 結果相同，因此兩種版本的 Q 同構，我們可以放心地說 Q 是 R 的一個 subfield。此外任意兩個有 l-u-b 特性的 ordered field 也會同構，課本只提沒證，因此像 R 這樣子的結構其實是唯一的。 Q. 如果不使用上述建構方式，還有其他方式說明普羅大眾所認識的 R 有 l-u-b 特性嗎？介紹完 R 之後課本準備了兩個定理：Theorem 1.20 利用 l-u-b 特性證明阿基米德特性、 Q 在 R 裡面稠密特性，Theorem 1.21 也利用 l-u-b 特性證明了 n 次方根的存在性。這兩者都是 l-u-b 特性的應用。大概抓到主要的證明骨幹就好，細節不用太在意。只是裡面有個地方 Rudin 有偷偷用到正整數的良序原則 (the well-ordering principle)，但他不說，害我上 StackExchange 翻了好久，這樣真的不太行。剩下課本提到的廣義實數系統、複數系統和歐幾里得空間都是一些基本的 common sense，很快就可以看過去。老師指派 HW1 的第 1, 2 題，也就是 Rudin 1.6, 1.7，是證明指對數律，一看就知道要學 Theorem 1.21，第 4 題是熟悉 l-u-b 特性，會用到 Theorem 1.20。其他題目就跟 R 本身沒什麼關係，但也是第一章的重點。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 2. Basic Topology 第二章主要是在基礎的點集拓樸 (point-set topology / general topology) 上做事，但奇怪的是 Rudin 竟然沒有介紹什麼是拓樸 (topology)，它基本上就是去指定一個母集 X 裡面哪些 X 的子集必須是開集 (open set)，只要這個指定滿足：(1) 空集和母集必須是開集、(2) 任意有限個開集們的交集也必須是開集、(3) 任意 (允許無限多個) 開集們的聯集也必須是開集，這三個條件，那母集和指定合起來看就是一個拓樸空間 (topological space)。這樣子的定義至少會讓 R 上面的每個開區間 (open interval) 都可以是開集，可能可以視為一個拓樸定義的 motivation 吧我猜？ Ref: https://mathworld.wolfram.com/TopologicalSpace.html Q. 為何拓樸空間要這樣定義？有沒有再進一步更強烈的動機？在開始重頭戲之前，必須先介紹何謂有限、可數無窮多、不可數無窮多。課本把可數無窮多簡稱可數 (countable)，簡單來說就是我們有辦法給那個集合一種排列方式，確保每個元素都有辦法被數到，即每個元素都能被賦予一個正整數 id，舉例來說，正整數集 N 是一個可數集，因為每個元素的 id 可以等於自己，整數集 Z 也是一個可數集，因為我能從 0 開始一左一右的數。不可數無窮多 (uncountable) 通常會使用康托對角線法 (Cantor's diagonal argument) 判定，舉例來說，[0,1] 內每個數字都可以表示成一個二進位小數，先假設可以排成一列，再把所有第 i 個數字的第 i 位數值翻轉過來 (0→1、1→0)，也會形成一個新的 (不在該排列內的) 數字落入 [0,1]，造成無論怎麼排列都有數值不在其中的矛盾，於是斷定 [0,1] 不可數。康托對角線法常見但簡單。另外，為了要處理兩個無窮多的集合大小之比較，定義兩集合大小相等 if 兩集合的元素彼此之間存在 1-1 的對應； A 集合大小嚴格小於 B 集合大小，如果每個從 A 打到 B 的 1-1 函數都不是 onto。 Q. 可數和不可數的差異為何重要？在後面很多章節會常常出現，很難一言以蔽之。不知道有沒有令人信服的簡答。 Q. 每個正整數也都可以用一個二進位正整數表示，那為什麼不能用對角線法證明正整數集是個不可數集？接下來才要正式進入本章的基礎，也就是賦距空間 (metric space)，賦距空間顧名思義，就是對空間中的任意兩個點定義它們的距離，這個距離必須滿足：(1) 自己到自己的距離 = 0、(2) 不同人之間的距離 > 0、(3) 距離沒有方向性、(4) 三個人之間的距離滿足三角不等式。由此可見，現實世界的三度空間中人與人之間的距離便滿足 metric 的定義。那還有沒有其他模型/問題是能透過賦距空間去描述/解決的呢？課本 32 頁的 Definition 2.18 必須熟記，是一切的開端，尤其要能隨時轉換成白話文： * neighborhood 鄰域 / open ball 開球：收集那些距離圓心 p < 指定正半徑 r 的點，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　符號通常簡記為 Nr(p) 或 Br(p)。 * limit point 極限點：以極限點為圓心、任意正半徑畫「不含圓心的中空」開球，總是能與子集交集。 * closed set 閉集合：子集的極限點只會出現在子集內。 * open set 開集合：子集內的每個點都可以為圓心畫一個足夠小的開球不超出子集區域。　　　　　　　　　注意到同一個子集是不是 open 會跟母集的範圍有關，例如，X 軸上　　　　　　　　　的 (0,1) 開區間在 R 是為 open，但在 R^2 則不是 open。想嚴謹　　　　　　　　　的話要明確地說子集在誰裡面是 open，Theorem 2.30 就是在談這個　　　　　　　　　現象。另外，Theorem 2.19 也說開球一定是開集合。 * bounded set 有界集合：宇宙中能找到一個點，使之與子集的每個人之距離有上界。 * dense set 稠密集：例如，我們說子集 Q 在母集 R 裡面稠密，因為以每個 r ∈ R 為　　　　　　　　　　圓心所畫出來的任意開球總是能包到一個 q ∈ Q。課本還有定義其他名詞，這邊沒列出來的都不太重要，尤其是 perfect set，作業不出、期考也沒考，它可能不是分析的重點。 Q. Rudin 好像是把 open ball 限制在歐幾里得空間 R^k，但其他書本好像是把 Rudin 的 neighborhood 寫成一般的 open ball，然後 neighborhood 這個詞真正的意思是包住某個點的任意 open set，也就是不一定要像 ball 的形狀。這邊我不太確定，留待大神確認。有了上面 open set 的定義之後，就能來解釋為何賦距空間也會是一個拓樸空間，理由也不難，課本沒提但老師上課有補充。首先空集和母集一定符合 Definition 2.18 所定義的開集合，因為空集裡面沒有元素，故不違反開集的條件，那不違反就是符合；而母集裡面的開球不管半徑多大也不會超過母集，故母集也是一個開集。任兩個開集的交集之中每個人的開球半徑只要取分別在兩個開集之中符合定義之半徑們的較小值，畫出來的開球自然也會落入兩開集的交集之中，故交集為開集。另外任意個數開集的聯集之中每個人只要畫一個開球落入某一個開集，自然就落入整片聯集，故聯集也為開集。這樣就證明完畢了。除了 metric space 之外，還有許多其他種空間也是拓樸空間，例如 Hausdorff space，其定義為對任相異兩點，我總是可以找到兩個互斥的 open sets 分別包住一個點，也就是那兩點被鄰域分離，而它又被稱為 T2 空間或分離空間。之所以要談這個，是因為 Rudin 這一節很多定理其實不需要到 metric 這麼強的條件，很多時候只要 Hausdorff 就可以，有些甚至連 Hausdorff 都不需要，在 general topological space 也行。就強度而言，賦距空間 > Hausdorff 空間 > 一般拓樸空間。課本這一節還有提及許多其他跟賦距空間相關的定理，每個都很常見、基礎、重要，而且證明不困難 (相較於後面的章節)，最好都弄懂記熟。另外，如果只是把這門課的角色定位為嚴謹地解釋大一微積分所教過的定理的話，那只要知道 R^k 也是一個 metric space，這樣往後每次遇到在 metric space 才較通用的敘述，就去思考怎麼對應到 R^k 上就好。接下來才是這一章最最重要、也最難以捉摸的小節 -- 緊緻集 (compact set)，它的定義：只要是聯集起來能蓋住目標子集 E 的一堆開集 {Gα}，我們稱之為 open cover，都能從中抽出有限個開集出來，我們稱之為 finite subcover，繼續蓋住 E。這邊比較容易讓人混淆的是，不是只要找到一個 finite cover 蓋住 E 就能說 E 是 compact，否則每個開集都能被自己覆蓋，難道每個開集都是 compact？顯然否，像開區間 (0,1) 就不緊緻。之所以說 compact 難以捉摸是因為，與之相關的定理證明都並不非常直觀，又很多樣化，它就好像是部隊長官 (例如：士官長) 所訂下的一個大原則 (看看那個定義簡陋得跟什麼一樣)，卻不提供具體命令，而是等著班長去揣摩上意 (也就是課本、作業、上課補充提點的諸多特性)，制定口令與福利交給班兵去執行 (背誦、使用定理)。大定理的證明通常都要先來個九彎十八拐才有辦法順利又安穩地到達目的地，篇幅也都不小，幾乎都要靠背誦才能在考試時寫出來，尤其定理一多又不限縮範圍的話，期考跟 compact 證明相關的分數幾乎都拿不到。如果要自己構造出在 compact 空間底下的證明的話，唯二的方法，第一，盡量想辦法湊到一個 open cover 然後對它 reduce 到 finite subcover 繼續做事，第二就是歸謬法，假設不 compact (存在某個 open cover 無法 reduce 到 finite subcover) 然後構造出矛盾，結果就只能是 compact。 Q. 我至今仍然無法給 compact 這個詞一個比較精簡的感覺。我也主觀認為 compact 一詞堪稱全文文眼，給這門課注入一種活水，沒有 compact 很多性質不會對，以後如果在其他地方看到 compact 也許要很開心？(Ex. Chapter 4) 這邊列舉一些知名的定理：(有些 HW3、HW4 的題目我沒列出來，但都是為了證明下面所列　　　　　　　　　　　　的 metric 空間底下那些 compact 的等價性，篇幅都很長。) * Hausdorff 空間底下的 compact set 必為 closed set。 * 拓樸空間底下的 compact set 的 closed subset 也是 compact。 * Hausdorff 空間底下一群有 finite intersection property 的 compact sets，全部的交集必非空。 * 拓樸空間底下 compact set 的 infinite subset 必定有 limit point。 * Nested interval property (及其高維度的 k-cell 版本)。 * 每個 k-cell 都是 compact set。(注意到這個性質在以後的章節會常常用到。) * R^k 空間底下 closed + bounded <==> compact。(Heine-Borel Theorem 也很常用。) * Metric 空間底下 compact <==> limit point compact (HW4 的 Rudin Ex. 2.26) <==> sequentially compact (上課投影片補充、期中考題) 　　　　　　　　　　　　　<==> complete & totally bounded (投影片補充但沒考)。 * R^k 空間底下每個 bounded infinite subset 一定有 limit point。 Rudin 把 Cantor set 的建構放在 perfect set 一節介紹，但是如同前面所提，perfect set 可能不是教學重點，所以就專心看 Cantor set 就好，它有很多好玩的性質，是這門課之中一個很重要的集合，但是考點不多因為很多東西都算是課內教材，常出在作業裡，沒什麼東西可以考試當場推導。連通集 (connected set) 一節就只有兩個定義： * 我們說兩子集被分隔 (separated) 如果其中一個集合內的每個點都能為圓心畫一個足夠小的開球不交於另一個子集。 * 如果一個集合無法表示成兩個非空分隔的子集，則說這個集合為連通集。外加一個 R^1 上的重要定理：(也很常見) * 數線上的每個連通集必為 (不管端點) 區間，每個 (不管端點) 區間也必為連通集。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 3. Numerical Sequences and Series 上一章主要單純討論點與點之間的關係，這一章繼承上一章，特別把可數個點排成一列，形成一序列，序列內容如果皆為純實數，又可稱為數列，把這個數列加總，形成一級數，無論是序/數列或級數，都討論它們的斂散性。從序列開始，先介紹收斂的概念，它的定義為：對於每個誤差ε> 0，我總是可以找到一個時間點 N 使得它之後的所有人跟收斂點 (limit) 的誤差都 <ε。口語的現象解釋，就是只要時間夠久，序列總是會往收斂點無窮地接近。寫數學證明的時候要從定義下手，但是觀察、預測數學現象或結論時還是得從口語現象著手會比較容易，這也是在看 Rudin 這本書時有一點必須注意的：不要受到抽象語言的限制而見樹不見林 (by 正在讀博士班一年級的黃同學)，也就是，不要變成符號機器，我常寫完作業之後忘記回過頭用一句話總結解題手法，要小心。這個現象到後期會愈來愈常發生。有了序列之後，自然就有子序列，重要的相關定理有： * 母序列收斂到 p <==> 每個子序列皆收斂到 p。 * Compact set 內每個序列都有收斂子序列。(i.e., compact => sequentially compact) * Bolzano-Weierstrass 定理：R^k 內每個有界序列皆有收斂子序列。 * Metric 空間底下：所有收斂子序列的收斂點會形成一個 closet set。另外一個跟收斂的概念有點類似的，稱為柯西序列，它的定義為：對於每個誤差ε> 0，我總是可以找到一個時間點 N 使得它之後的任兩個人距離都 <ε。一個顯而易見的結果是，在 metric space 底下，收斂序列必為柯西序列 (Theorem 3.11(a))，但反之則不一定，舉例來說，在 Q－{0} 底下，{1/n} 是柯西序列，但它原本在 Q 的收斂點 0 被挖掉了，於是我們說 {1/n} 在 Q－{0} 底下並不收斂。隨之而來的問題便是，什麼情況下柯西序列必為收斂序列？Theorem 3.11(b)(c) 告訴我們 compact set 和 R^k 底下會有這個性質， Definition 3.12 則把有這個性質的空間稱為 complete (完備的) metric space。判斷為柯西序列的好處是，不需要知道收斂點是誰，就能判斷此序列是否收斂。這一節最後還有一個重要定理 (Theorem 3.14，單調收斂定理)：單調數列收斂 <==> 有界，也很常用。 Q. 第一章所提的 R 內每個有上界非空子集皆有最小上界和 R^k 是一個 complete metric space 是否有某種關係？例如，等價？我是看到這篇文章的第五題才有此疑問。 https://www.ptt.cc/bbs/NTU-Exam/M.1550379031.A.195.html 介紹完序列收斂的概念之後，一個很自然迎面而來的問題，便是：如何判斷一個數列是否收斂？這便是 limsup 和 liminf 存在的理由啦！課本把一個數列的 limsup 定義為所有收斂子數列的極限們收集起來的最小上界，發散到正/負無窮大也算收斂；liminf 定義為所有收斂子數列的極限們收集起來的最大下界，發散到正/負無窮大也算收斂。因為這樣的定義，每個數列的 limsup 和 liminf 一定存在。老師出的 HW5 提到 limsup/liminf 還有另外一種定義方式，就是先看一個時間點之後的 sup/inf，再對這個時間點取 lim，第四題要同學證明這兩種等價。理由其實也不難理解，如果暫時把 sup 當成 max，便可以直接想成任意時刻總是有一個只看當下以後的最大值，但是那個最大值本身會收斂到 limmax，於是持續地取它們就會得到一個極限為 limmax 的收斂子數列，最後只要把 max 用 sup － (ε→0+) 取代就能得到 limsup 的版本，於是兩者相等，liminf 亦比照辦理即可。詳細的證明我寫在自己的作業檔裡面。這邊也牽涉到一個重要的證明技巧，因為 lim 就是 limsup 和 liminf 的合體 (Example 3.18(c))，所以當我們證明數列的 lim 是用 p－ε< x < p＋ε for all ε> 0 的時候，證明 limsup 就會很自然地採用 x < p＋ε for all ε> 0 則 limsup ≦ p，同理證明 liminf 也會很自然地採用 p－ε < x for all ε> 0 則 liminf ≧ p 的手法，這一點都不意外，另外 for all ε> 0 應該也可以是 ε→ 0+。老師曰：當還不知道數列是否收斂 (lim 是否存在)，先操作 limsup 和 liminf。我自己在判斷數列的 limsup 和 liminf 的時候，會採用以下兩種規則： * 如果無論什麼時間點以後總是有人 ≧ x，則 limsup ≧ x。 * 如果存在某個時間點以後全部的人 ≦ x，則 limsup ≦ x。 * 如果無論什麼時間點以後總是有人 ≦ x，則 liminf ≦ x。 * 如果存在某個時間點以後全部的人 ≧ x，則 liminf ≧ x。這兩個規則可以分別從 Theorem 3.17(b) 和 Theorem 3.19 推導出來，再加上存在性以及唯一性就很容易抓到實際值。HW6 的第五題有讓同學練習抓 limsup & liminf 的值，可惜難度偏低。 Q. 不知道有沒有去抓一個已知或未知數列的 limsup 和 liminf 的更好方法呢？如果把 lim 拔掉，只是要證明一個集合的 sup 或 inf，手法也是一樣，舉例來說，我想證明 sup{f(x)－f(y)：x,y∈S} = sup{f(x)：x∈S} － inf{f(y)：y∈S}， * LHS ≦ f 的上界－ f 的下界 = (sup{f(x)：x∈S}＋ε1)－(inf{f(y)：y∈S}－ε2) for all ε1,ε2 > 0，如果讓ε1,ε2 → 0+ 的話就有 LHS ≦ RHS； * LHS ≧ 較高的 f －較低的 f = (sup{f(x)：x∈S}－ε1)－(inf{f(y)：y∈S}＋ε2) for all ε1,ε2 > 0，如果讓ε1,ε2 → 0+ 的話就有 LHS ≧ RHS。於是兩者相等。接著課本有介紹一些常見數列的極限 (Theorem 3.20，要看)，接著就來到級數，這邊通常也只能判斷斂散，以下一樣羅列一些重要的測試法 (其實還不少，有些初微都教過了，後半部有些證明都還蠻複雜，我自己只有順過一遍而已，並沒有翻成白話版本記起來)： * 級數和的 Cauchy criterion * 末項不收斂到 0 ==> 級數不收斂 * Comparison Test (only for 非負) * Condensation Test (only for 非負遞減，這個對付 log 還蠻有用的ＸＤ) * P-series 收斂 <==> p > 1 * Root Test * Ratio Test 一般而言，Root Test 比 Ratio Test 還要強 (Theorem 3.37)，但實務上為了計算方便，會先使用 Ratio Test。老師這邊有舉一個例子說明用 Ratio Test 去計算 n/(n!)^(1/n) 的極限值。另外，下面的 test 的證明可能會用到 summation by parts，就是一個跟分部積分很像的東西，但是推導簡單許多，這次期中考有 8 分在這裡。 * Dirichlet's Test：一個前綴和總是有界的級數 (未必收斂)，它的每一項乘以一個非負　遞減收斂到 0 的係數，所形成的新級數也會收斂。 * Abel's Test：一個收斂級數，它每一項乘以一個單調有界的係數 (未必收斂到 0)，所　形成的新級數也會收斂。(HW7 的第二題，Rudin Ex. 3.8，可跟上一個 test 作比較。　另外，作業同一題還有配 Apostol Ex. 8.27 跟這個類似，但結論很難記，也沒有名字　考試機會我猜不高。) * Leibniz's Alternating Series Test：級數每一項的正負交錯 (可接受 0)，且絕對值　遞減並收斂到 0，則級數收斂。 * 級數絕對收斂 ==> 級數收斂 * 兩收斂級數的 Cauchy product 可能發散 (Example 3.49)，但其中一者絕對收斂的話則　必收斂，而且級數和為兩級數和之乘積 (Theorem 3.50)；此外，如果已經確定收斂的話　乘積也只能是兩級數和之乘積 (Theorem 3.51)。這部分可能較難出題，因此考點較少。 * 級數經過重排之後，收斂級數可能改變和，甚至發散 (Example 3.53)，但是只要先確定　是絕對收斂的話，不管怎麼重排都一定會收斂 (Theorem 3.55)，而且和不改變。這邊有　一個很有趣的定理稱為 Riemann's Rearrangement Theorem (Theorem 3.54)，只是它的　證明有點困難，我就沒去理解它。這些 Test 應該會用比會證還要重要，可能要多練題目熟悉感覺。最後需要注意的是，三角函數的級數和變化非常多端，考試很愛考，和差化積、積化和差應該要熟悉。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 4. Continuity 從這章開始討論函數的連續性，已經開始有漸漸回到初微的感覺了。一開始先介紹函數的極限值，我這邊就不寫它嚴謹的定義了，基本上就是 x 愈靠近 (但不等於) p 則 f(x) 愈靠近 q，這個逼近的現象與 f(p) 無關，此外這個現象也可以寫成序列的版本。有了極限的概念之後就可以來定義函數的連續，其實也就是極限值 = 函數值。接下來想當然爾就有一連串跟連續函數相關的定理，以下羅列： * 兩個連續函數的合成也是連續函數。 * 一個函數連續 <==> 每個對應域的開子集被反映射拉回來也會是一個定義域的開子集。　　　　　　　　　　　　　　　閉　　　　　　　　　　　　　　　　　　閉　(注意到以上這個敘述是在 general topological space 的原始定義。) * 對應域如果是 R 或 R^2，那兩個連續函數的加、減、乘、除也會是一個連續函數。 * 一個打到 R^k 的函數連續 <==> 每個 (打到 R 的) 分量函數也都要連續。 * 兩個打到 R^k 的連續函數的相加、內積函數也會連續。 * 從 R^k 打到 R 的每個分量投影函數也都是連續。 * 每個 R^k 上的多項式，以及兩個多項式相除 (如果分母不為 0)，也都是連續函數。 * R^k 上的絕對值函數也是連續。有了對連續函數的基本認知之後，就可以來看它會把怎樣的集合送到怎樣的集合： * 連續函數會把 compact set 送到 compact set。(對一般拓樸空間也成立) 　現在固定住連續 + 定義域 compact 兩條件：　- 如果對應域是 R^k，則值域會 closed & "bounded"。(By Heine-Borel Theorem) 　- 如果對應域是 R^1，則值域有最大最小值。　- 如果該函數是 1-1，則它的反函數也會連續。 * 連續函數會把 connected set 送到 connected set。(對一般拓樸空間也成立) 　- 打到 R 的連續函數有中間值定理 (Intermediate Value Theorem)，反之未必成立。還有一個比連續函數稍微再強一點的，稱為「均勻」連續函數，差別在於「普通」連續只在每個點上面定義，輸入離目標點很近的時候，輸出就不能離極限值太遠；但是「均勻」連續是對任兩個點定義，只要兩個輸入靠得很近，輸出也不能相差太多，像 f(x) = 1/x 就沒有均勻連續，因為當我固定兩個人的差距，同時往 0+ 靠近的時候它們的差距會愈來愈大。注意到：只要是去舉沒有均勻連續的反例，通常都會拿 1/x 出來用，不得不牢記。而且均勻連續也是連續的一種。 * 如果定義域是 compact，則在定義域上的連續函數，也會是均勻連續。上述的定理應該是都要熟記，證明也不太困難。介紹完連續之後，就來探討不連續，這邊都只看 R 打到 R。先簡單解釋何謂從左/右邊讓函數值逼近一個極限，也就是左/右極限，再定義兩種不連續點：第一款是左右極限皆存在第二款是左右極限至少其中一者不存在。那，單調函數不存在第二款不連續點 (Corollary of Theorem 4.29)，而且單調函數的不連續點為有限或是可數個 (Theorem 4.30)。這裡還有兩個很重要的結論出在作業跟期末考，我個人也覺得蠻有趣的。 * 單純的連續函數不見得會把柯西序列送到柯西序列，但只要均勻連續的話就會保證。 * 考慮 E is dense in X 以及 T is complete，f 從 E 或 X 打到 T：　- 如果 f 在 E 上面連續，則不保證 f 能連續地延展到 X，但是如果存在，必唯一。　- 如果 f 在 E 上面均勻連續，則保證 f 能唯一連續地延展到 X，而且一定均勻連續。詳細的說明都寫在我的作業檔裡，這邊就不詳述。其他知名結果也都出在作業，不過目的就只是為了讓同學熟悉連續函數而已，代表性沒那麼高。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 5. Differentiation 到了這一章，又更接近初微的章節了。函數的微分定義為割線斜率的極限，在閉區間端點可接受單邊極限。可微亦隱含連續。還有連鎖律：一般的 d(gf)/dx = d(gf)/df * df/dx 會在 df≠0 時成立，如果 df＝0 的話可以特例討論得到整個值為 0，只是 Rudin 的寫法其實也沒考慮到 df＝0 的狀況，個人觀點認為 Rudin 的證法和一般初微常寫成如上述的通分法大概是同一件事。還有可微的極值點微分必為 0。還有均值定理，無論是單維度或雙維度，證明手法都是先考慮連接頭尾之曲線跟直線的差，頭尾的曲直差一定都是 0，便能使用 Rolle's Theorem 找到差距微分為 0 的點，還原回去就是曲線跟直線同斜率了。另外可微分的實函數之微分有中間值特性，因此其微分沒有第一款不連續點。羅畢達法則，如果是 ∞/∞ 的 case，應該可以先轉成 0/0，再用二維均值定理，也就是 f'(ξ)/g'(ξ) = (f(x)-f(y))/(g(x)-g(y))，如果我們想要知道 f(x)/g(x) 當 x → b- 的極限值，可以先讓 y → b- 使得 f(y), g(y) → 0，原式則化為 f'(ξ)/g'(ξ) = f(x)/g(x)，再讓 x → b-，那因為 x < ξ < b 便使得 f'(ξ)/g'(ξ) 可以取值的範圍縮到幾乎只剩下一個值，也就是 f'(b-)/g'(b-)，因此 f(b-)/g(b-) = f'(b-)/g'(b-)。泰勒展開式說明一個處處 n 次可微的實函數，必定可以由一個 n 次多項式去近似，展開中心可以任選為α，其中最高次項係數 f^(n)(ξ)/n! for ξ∈(α,x)，因為不知道ξ的實際位置，如果知道其上界 (for all ξ)，就可以估計近似誤差了。證明方式就是對函數－多項式＝ 0 的這個方程式持續的作微分＋Rolle's Theorem 的循環 (注意到方程式對展開中心α永遠成立)，直到最後剩下一個最高次項係數的時候，就證明 f^(n)(ξ)/n! 的存在性了。最後才提醒均值定理、羅畢達法則對向量函數未必成立，舉例來說，圓周運動頭尾相接，但過程中的速度恆不為零。為此有放寬定理 (Theorem 5.19)：空間運動之起終點的距離≦ 所花時間 * 過程中最高速率，也就是平均速度的量值≦最高速率，這也很好理解，如果反過來的話就算選最短直線也無法在指定時間內走完指定距離，課本是用投影長≦向量長來證明，道理一樣。 ------------------------------------------------------------------------------- Chapter 6. The Riemann-Stieltjes Integral 這章接在微分之後，自然要講積分，只是這邊的定義是初微的加強版 UP UP UP，比黎曼和複雜多了。聽說書本定義的積分其實是 Darboux (達布) 積分，也就是對整段積分區間的一種分割 (partition) 內的每個子區段 (閉區間) 都各自取 f 的 sup 和 inf 再乘以該區段長度再加總而得到上和 (upper sum) 與下和 (lower sum)，如果分割夠精緻使得上下和趨同，則說 f 在區間上達布可積 (Darboux integrable)；而 Riemann (黎曼) 積分對分割的要求則是：如果所有滿足最長子區段 < 指定門檻的分割，在每個子區段 (閉區間) 內任取函數值所得到的和彼此之間都夠接近，則說 f 在區間上黎曼可積 (Riemann inte- grable)，像這裡就沒有所謂的上下和。老師好像是說因為 Riemann 在當時比 Darboux 更有名氣，所以書本才把第一種定義方式誤植為黎曼積分，不太確定是不是這樣？注意到在 dx 情況下，兩種定義等價。還有一種更進階的積分方式，是從 dx 推廣為 dα(x)，也就是 integrator 可以是任意的遞增函數 (不用連續)，那麼原本要乘以子區段長度Δx 的地方就都改為乘以Δα(x)，那它對應回原本兩種定義的積分又被分別稱為 Darboux-Stieltjes Integral 以及 Riemann- Stieltjes Integral，上一段的原版定義便可以想成是α(x) = x。注意到，在一般的 dα 情況下，兩種定義的積分並不等價，因此嚴格說起來這本書只算談了 Darboux-Stieltjes Integral。因為這是理論課，有了定義之後通常只會討論哪些情況可以積分 (也就是有辦法讓上下和趨同)，不會特別討論哪些積分算出來是多少，以下羅列 Theorem 6.4 到 Remark 6.18 的各項定理，記得時時都要讓 f 保持 bounded： * 任何一個比原本的分割更精緻 (保留原本的切割點，再多新增幾個) 的新分割只可能會　讓下和提高、讓上和下降。 * 下積分 (所有可能下和的 sup，最精緻值) 不會超過上積分 (所有可能上和的 inf，最　精緻值)。 * (Theorem 6.6) 函數可積 <==> 總是存在分割使得上下和小於任意的指定誤差ε> 0。接下來要一連串地運用 Theorem 6.6 來說明哪些情況下可積，目標大體上都是希望有足夠好的分割使得Σ(Δf)(Δα) → 0。 * 如果 f 連續，則 f dα可積：因為 f 連續的緣故，只要分割夠精緻那每個區間的Δf 　就會 → 0，又ΣΔα為有限積分區間全長，故最後的Σ(Δf)(Δα) → 0。 * 如果α連續，則只要 f 單調 (遞增或遞減) 就 f dα可積：其實就是上一個定理的對偶　版本，分割夠精緻會讓每個區間的Δα → 0，要讓ΣΔf 為有限的其中一種方式就是使　f 單調。 * 如果 f 只在有限個點不連續，而且α保證會在 f 不連續的地方連續，那 f dα可積：　把分割看成有包住 f 不連續點、不含 f 不連續點兩部分，前者可讓ΣΔα → 0，後者　可讓Δf → 0，合併起來還是能讓Σ(Δf)(Δα) → 0。　Q. 如果改成 f 在可數無窮多個點、不可數無窮多個點不連續，定理也會成立嗎？ * 可積函數 f 丟進連續函數φ裡面得到φ(f(x)) 一樣可積，也就是連續。可積＝可積：　證明困難之處便在於因為 f 未必連續，不能直接那麼方便 Δx→0 ==> Δf(x)→0 ==> 　Δφ(f(x))→0。那該怎麼做呢？一樣學上個定理把分割看成兩個部分：一部份是 f 很　聽話地 Δf(x) → 0，它可以直接 follow 上面那句話得到Δφ(f(x)) → 0；另一部分　是不聽話地 Δf(x) !→ 0 (! 取程式語言中 NOT 的意思)，這部分利用 f 可積的特性　可以推出ΣΔα → 0，如此一來合併起來還是能讓Σ(Δφ。f)(Δα) → 0。 * Theorem 6.12 是一些很基本常見的特性，可自行參閱課本。 * 兩個可積函數相乘一樣可積，這可用乘法公式推出來。積分的絕對值≦絕對值的積分。 * 如果α是 (遞增) 階梯函數的話，那 f dα 可表為α在每個不連續點的跳躍差 * 對應　到的 f 函數值之總和。證明也是可自行參閱課本。 * 如果α'可積，則 fdα 和 fα'dx 的上積分會相等、下積分亦然。結論雖直觀，但證明　的細節其實蠻繁雜的，我當初卡了好幾天，還上 StackExchange 才把課文的漏洞補齊。 Remark 6.18 以物理問題為例說明 general dα 可以視需要轉為普通的 dx 或者是級數。接下來就帶一些更重要、更高層次的重要結果，例如變數變換 (其實就是座標軸轉換，沒什麼學問)、微積分基本定理：如果 f 可積則反導函數 F 連續，如果 f 還連續的話則 F 可微而且 F' = f (Q. 讓 F 可微的最基本條件會是 f 在該點的左右極限都相等，使得 F' = lim f 嗎？)、若 f 連續則在閉區間上的定積分可表為反導函數在兩端點的函數值差、分部積分 (Theorem 6.22：F 和 G 皆可微、Rudin Ex. 6.17：F 遞增, G 可微、老師上課補充：F 和 G 皆遞增)。最後才談高維度的積分，例如微積分基本定理、積分的絕對值≦絕對值的積分，以及空間中的路徑長 (曲線長)＝過程中速率的積分(無窮細緻的割線總長)，證明技巧一樣用我上面第三章所舉的例子即可。我對高維度的比較無感，這邊的證明細節就都沒仔細去 trace。較重要的結果可能有 integration by parts、improper integral、integral test (函數要非負遞減)、Dirichlet's test for improper integrals、Riemann-Lebesgue Lemma，後兩者是作業都有出、而且期末考都有考出來的。 Q. 這邊我想補充問一個問題，期末考第 5(b) 題要證明積分版本的 Dirichlet's test，老師題目說要用上課教過的分部積分，但是我從以下兩個參考資料發現，如果要用的話， https://math.stackexchange.com/q/3752351/397319 https://math.stackexchange.com/q/3126392/397319 G = gdx 應該不會是 monotone，如果要跟資料一樣照用的話，就違反了老師教的 F 和 G 都要遞增的版本；不然就只能用積分的第二均值定理去證，不知道大家怎麼看？ ------------------------------------------------------------------------------- 老師學期末除了講到 Theorem 7.17 之外還補充了 measure zero 定義跟 Theorem 11.33, 可能這樣比較完整吧？我猜。這部分因為不在考試範圍我就不詳述了。 Ψ 總結打了這麼多終於來到了總結，細心的人會發現這篇文章許多地方語氣不太連貫，因為我從期末結束之後 (含年假) 就開始構思這篇文章，中間又回過頭去補許多地方，到今天才算正式結束 (然後下週又要開學了，時間過得真快)。 1. 分析導論是一門訓練用嚴謹的數學語言描述/定義自然現象，並且操作數學語言向聽者嚴謹地論述/證明自己所預測之自然現象為真的課程。例如，A 數列最後會很靠近 3，而 B 數列最後會很靠近 5，為什麼 A+B 數列最後就會很靠近 8？最後是什麼時候？靠近是靠得多近？也因為如此，它跟抽象代數像是群論不太一樣，雖然都有需要通靈 (i.e., 看解答才寫得出來) 的題目，但絕大多數都是只要熟悉定義及其相關的現象，這邊的熟悉必須要到能向自己家裡的高齡阿嬤解釋何謂連續，這樣的程度，就有辦法自己想到作法的。我會把這門課習得的工具比喻為放大鏡，學愈多、理解愈透徹，就相當於把放大鏡擦得愈亮，那當你把放大鏡往角落望去，高倍率、高清晰的放大鏡勢必能看得愈仔細，也就能愈容易想到思路 (proof rule) 證出定理了。 2. 老師出的作業真的很優，不過極少數題目解法過於特殊偏頗 (例 Rudin Ex. 3.14(e)), 無法內化為放大鏡，如果為了完成作業 (優先把解法寫完，而非理解箇中道理)，可能本末倒置而使得期考表現不好，建議還是先把基礎的東西弄熟，再回過頭來看較為困難的作業題目。畢竟期考占分較重。如果不想聽課想自己看書的話，那 Rudin 也是很不錯的選擇。 3. 最後是我一直很想曬出來的課本和作業筆記，因為課本內含版權物所以有設密碼，它被稱為國王的密碼，藏在這篇文章之中的某處，不開燈是看不到的。21FIMA21FIMA 　課本:https://drive.google.com/file/d/1lf7TYVHuST5Y_cm5RLUp_J44rB4a0mq1 HW1: https://drive.google.com/file/d/1BAkfOSlYyUAppXr2xCmtgpmO2I5TLuMX HW2: https://drive.google.com/file/d/1uHwHD_-SFnwelt3JdzA4AMm-xud3zB9v 　 HW3: https://drive.google.com/file/d/1gIM_Iv1iVduvPX13Kj7XWoYmajZaPdq- HW4: https://drive.google.com/file/d/1IewHt2nK3H4P0qXwsSSNggQ3dWeb0SAU 　 HW5: https://drive.google.com/file/d/1r1HsTwKQcC4BpN68-8IkT5l6G8kYcLR9 HW6: https://drive.google.com/file/d/1uZFeS6SKrn8Z0JnerPoLeWK2azYlo0Pl HW7: https://drive.google.com/file/d/19Gk3nKcyLK_H2NKgYqTeOXGDpQsprFqr 　 HW8: https://drive.google.com/file/d/1BSKM8OoZ7FbvOophcQqlrEh72_6xrzAs 　 HW9: https://drive.google.com/file/d/1LXGf2EHumcih-mOmlVThfF8F6qbBfElG 　HW10:https://drive.google.com/file/d/1nPdg1m9y-1VlMnZ-iS6X_uj7cBq8msr6 　HW11:https://drive.google.com/file/d/1Ui-RuRWrFJRhKZabxfJY804HG1uGBdxH 我會打這篇文章有一方面也是想知道數學系的人是怎麼念書的，怎麼能還在學齡時期就能在短時間內從數學語言轉為自然語言，像我不在學齡都還要花比普通人多好幾倍的時間。如果這篇文章以及附檔的筆記有任何錯誤，都可以在下面的留言，這門課在這學期帶給我許多回憶，於是我用這篇文章作為回饋給板上，謝謝各位。 --

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