[討論] 翁秉仁講義的一題變數變換
翁秉仁講義 p.229 習題 4.5
2
2 u (v－u＋1)
∫∫ e dv du
1 2u-2
在台大統一教學網上有習題解答 http://tinyurl.com/7ehesd9
上面居然是用泰勒展開來硬爆這題
雖然此舉創意十足, 但沒有讓同學練習到重積分的變數變換
因此小的在此提供一個使用變數變換的解法
我們先畫出原積分範圍 是個鈍角三角形
2
(v－u＋1)
因為被積分函數的長相是 e
根據以貌取人原理, 它太醜了我不喜歡它 2
x
於是想到設 x＝v－u＋1 , 這樣它就會是 e , 似乎好看多了
現在我們把目光放在積分範圍, 也就是剛剛畫的那個三角形
我們現在試圖把每一邊同時寫u-v座標系之下的方程式及x-y座標之下的方程式
什麼? 你說我們還沒設y ?
不要著急! 淡定點!
其中一邊是 v＝u , 這是u-v座標系之下的方程式
對照一下剛剛我們設的 x＝v－u＋1 , 就知道這是x＝1
所以說 這一條邊 它的u-v方程式是v＝u , x-y方程式是 x＝1
現在再看一下另一邊 v＝2u－2
那因為我們剛剛設了x＝v－u＋1嘛, 所以我們這邊也做一下移項
讓它變 v－u＋1＝u－1 , 也就是 x＝u－1
我寫 x＝u－1 這樣很奇怪 , 應該要嘛都是x跟y ,要嘛都是u跟v, 不要混一起
所以現在y該怎麼設的靈感來了
就設 y＝u
於是 v＝2u－2 的x-y座標方程式 就是x＝y－1
至於第三邊 u＝1 , 它的x-y座標方程式 就是y＝1啦
所以呢, v＝u、v＝2u－2、u＝1 這三條線, 在我們所設的變數變換之下
會送到 x＝1、x＝y－1 、y＝1
現在計算Jacobian
算的時候不要腦筋轉不過來, 因為我們現在是從 u v 轉換到 x y , 跟平常反過來
│u u │
│ x y │
所以應該是 | │ │ |
│v v │
│ x y │
我們剛剛是設 x＝v－u＋1 , y＝u , 換句話說就是 u＝y , v＝x＋y－1
│u u │
│ x y │ │ 0 1 │
所以 | │ │ | ＝ | │ │ | ＝ 1
│v v │ │ 1 1 │
│ x y │
所以原積分經過變數變換, 就是
2
1 x+1 x
∫ ∫ e dy dx
0 1
2
x
注意我們選擇 dydx的順序, 而非dxdy , 這是因為 e 會做不出來
2
1 x 2
而現在這順序會變成 ∫ x e dx , 只要再設個u＝x 就做得出來了
0
這個解答過程預設你會基本的變數變換, 所以沒有詳細得很過份
如果你有些過程看不懂的話, 可能就是你對變數變換還很不熟
這種情況怎麼辦呢?
唔使驚! 報你一個好所在
只要連上這個網頁 http://ctld.ntu.edu.tw/ls/reservation/
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請小老師解決你的疑惑 !
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