[教學] 薛丁格方程式

看板NTUEE113HW作者lttlstrngth (★小強♂≠壞人)時間16年前 (2009/11/27 00:50)推噓10(10推 0噓 11→)

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今天就由小強來講解一下薛丁格方程式～可能對於不清楚的人們有一點幫助～讓期中不及格的人來講解好像有點... 那"薛丁格方程式"的起源要先從"測不準定理"開始那就是說對於微小粒子，有一些operator不能同時測得(那其實有公式...) 所以有一個很聰明的人～"薛丁格"想到了一個方法(方程式) 利用 ^ HΨ=EΨ 來求得Ψ(一個函數)(先別管她能幹嘛) E是個常數，EΨ代表Operator對於Ψ做出E的值那operator的意思就是可以求該種數值的操作子～那我們就先用One particle in the box(One Dimensional)來說明一個長度為a的區間，因為是個box～所以說沒辦法到外面，因此假設其位能(跟老師假設的不一樣喔) V(x)=0 (0﹤x﹤a) V(x)=∞ (x﹥a, x﹤0) 那麼此時 _2 2 ^ - h d H = ── (──) + V(位能) 打不出partial真抱歉... 2m dx 即是Hamitonion能量操作子(老師一直說得鬼東東) 使用該薛丁格方程式 ^ HΨ=EΨ 來求Ψ 那順序是這樣的： 1.Use Schodinger Equation 2.boundary condition 3.normalization 那第一步時，帶入式子後 _-2 Ψ微分二次= Ψ 2mE h _-2 2 此時假設2mE h = -k (因為微分兩次，所以如此假設) 因為經驗法則(?)(跟e有關就是了) 所以假設Ψ=Acos(kx) + Bsin(kx) (也可以假設e，但e出來的isinθ圖形難以想像) 此時就是步驟二啦!! 帶入邊界條件(boudary condition) Ψ(0) = 0 Ψ(a) = 0 (因為此波函數要連續，但外面不存在粒子) A = 0 ka = nπ nπ 所以呢～可以得到 A B 求到Ψ(x) = Bsin kx = Bsin ─ x (因k是變數，所以用a常數換) a 再來就是第三步摟～ normalization及是標準化(存在機率等於一) a 2 2 nπ ∫ |B|sin θdx =１ (θ= ─ x) 0 a 接下來就是數學問題了(自己去積分) 可以利用 2 1 sin θ= ──( 1 + cosθ) 2 因此求得 a 2 a ∫ sin θdx = ─ 0 2 接下來自己求 B, k, 還有Ψ (B取正就好了...也不要放i，不然妳就不用作圖了...Orz) (注意：Ψ函數中有n的常數變數呦～) ========================================================================== 接下來要說明 ^ < n|o|m > 那其實 < n|稱之為bra |m >稱之為ket ^ 如果一個Operator A 對於kit來操作時(產生值 a )，記為 ^ A|m > = a|m > (重點：a 為常數) 所以之前有一個詭異的式子： ^ ^ < n|H|m > = < m|H|n >* || || < n|Em|m > = < m|En|n >* (換成數值) || || Em < n|m > = En* < m|n >* (提出常數) || En* < n|m > 所以得到Em = En*(其中n = m) 其中用到了Orthognal & Normal 即 < n|m > =0 (n = m，Orthognal正交) < n|m > =1 (n≠m ，Normal標準化) 為什麼呢～那這要從符號的定義下啦～(< n|m >就是積分簡化) 2 ∫ |Ψn(x)| dτ=１ ∫ Ψn(x)* Ψm(x) dτ=0 =========================================================================== 那今天的解說就到此節束啦～第一章其他重點下一篇再說(dipole例外) 有問題先推文提出我下一篇再一起說明 -- ◣ ◢_╴ 無論如何都要像 ╱˙﹏˙ ◢ 垃圾堆裡的貓一樣堅強! ▅ ▅ ◤ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.239.76

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TommyKSHS

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b98901056

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storym94374

11/27 00:53, , 3^F

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