Re: [問題] 請問複變一題
原文恕刪
∞ sin(ax)
∫ ─────── dx
０ exp(2πx) - 1
我想那contour還是有點怪怪的，since 0,i有pole，所以要分開處理
把路徑拆成六個部分：
4 3
i┌───────────┐
┌╯ │
│ │
5│ │2
│ │
└╮ │
0└───────────┘
6 1 R
注意到：
∞ exp(iax) ∞ cos(ax) ∞ sin(ax)
∫ ------------- dx = ∫ ------------- dx + i ∫ ------------- dx
0 exp(2πx) - 1 0 exp(2πx) - 1 0 exp(2πx) - 1
（前提：Improper Integral收斂，自行驗證。
但在這不驗證，假設對，看起來也蠻對的因為上面bdd下面發散）
設i附近1/4圓半徑ε1，0附近1/4圓半徑ε0
1:
R exp(iax)
∫ ------------- dx
ε0 exp(2πx) - 1
2:
1 exp(ia(R+iy)) 1 2exp(-ay)
|∫ ------------------ i dy | <∫ --------- dy → 0
0 exp(2π(R+iy)) - 1 0 exp(2πR)
有人對2.的估計有疑慮，這裡寫詳細一點：
1 1
| ------------------ | = | --------------------------------- |
exp(2π(R+iy)) - 1 exp(2πR)(cos(2πy)+isin(2πy))-1
1 2
< ------------- < --------- ( R >> 1 )
exp(2πR) - 1 exp(2πR)
原本估計的時候沒有加常數就把1丟掉了，雖然結果一樣，嚴謹起見加個2
3:
ε1 exp(ia(x+i)) R exp(iax)
∫ ----------------- dx = -exp(-a)∫ ------------- dx
R exp(2π(x+i)) - 1 ε1 exp(2πx) - 1
4: z = i + ε1exp(iθ) , dz = iε1exp(iθ) dθ
3/2π exp(ia(i+ε1exp(iθ)))
∫ ---------------------------- iε1exp(iθ) dθ
2π exp(2π(i+ε1exp(iθ))) - 1
直接積，式子太長了我不打，重點：
2
exp(ε1exp(iθ)) = 1 + ε1exp(iθ) + (ε1exp(iθ)) /2! + ...
做完忽略高階項
i -a
總之結果：- - e
4
5:
ε0 exp(-ay) 1 1 exp(-ay)(cos(πy) - i sin(πy))
∫ -------------- i dy = - - ∫ ------------------------------- dy
1-ε1 exp(2πiy) - 1 2 0 sin(πy)
6:
i
類似4，如法炮製之， 結果： - -
4
把1+2+3+4+5+6取虛部算，化簡即可
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◆ From: 140.112.7.59
推
06/19 16:47, , 1F
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06/19 17:01, , 2F
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06/19 18:27, , 3F
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06/19 18:40, , 4F
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06/19 20:02, , 5F
06/19 20:02, 5F
是 三樓說的沒錯 打字漏了
推
06/20 01:16, , 6F
06/20 01:16, 6F
→
06/20 01:17, , 7F
06/20 01:17, 7F
嗯 要算的話就是
1 1
- - ∫ exp(-ay)cot(πy) dy
2 0
不好處理，應該是個Improper Integral
這部分我們有請6,7樓表演
在下微積分計算不太行
推
06/20 01:58, , 8F
06/20 01:58, 8F
※ 編輯: rm2slg 來自: 140.112.7.59 (06/20 13:15)