習題課--curvilinear coordinate 投影片&筆記

看板NTUEE111HW作者hitr (Wasserstoff Atom)時間15年前 (2009/03/26 20:42)推噓7(7推 0噓 0→)

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hello, 我是電磁學一林怡成老師班的助教. 這裡我把昨天習題課(或者office hour... who knows?)的投影片放上來如果你對曲線坐標系(cylindrical, spherical)底下的divergence, curl 要怎麼計算和怎麼系統性的表達和記憶這些公式有興趣而你昨天剛好不在那裡那麼有空的時候你可以把投影片拿去看因為這是在一天之內趕出來的所以沒有寫什麼補充的文字講完之後想一想也有很多可以再改進的地方(那是當然) so, 我把我口頭上所講的東西也記在下面 you may read it if you want to :) ------------ power point file: http://homepage.ntu.edu.tw/~f95942023/EM/20090325DivCurl.ppt 我第一次學會divergence和curl是在我高三的時候那時候學校的物理課在教的是電磁學我就拿了一本"費因曼物理學"來讀 (當然不是投影片上那本原文書當時還只有"徐氏基金會"出版的五冊翻譯本) 費曼物理學的第二部是在講電磁學一開頭就講散度和旋度散度定理和Stokes定理我關於這些東西的知識都是從費曼物理學裡面學到的還包括了Maxwell equations 所以打小時候起我就看著這些東西長大 ("余憶童稚時, 能背誦馬克士威爾之電磁四大方程式...") (不過寫浮生六記的沈復說起來也是個腦筋不太正常的孩子 ..."張目對日"?) 我高三的時候當然還不會大一微積分微分也許會一點連積分都還不太會寫但是看Feynman物理學卻可以讀懂divergence curl這些東西這代表了兩件事 (1)Feynman很會教他能夠把事情講到根本所以你可以直接懂 (2)散度旋度這些東西在本質上其實並不難投影片的3-5頁就是Feynman教散度定理的方法 nothing fancy 就是把向量場對一個封閉曲面的積分應用到一個微小的體積上面旋度定理的部分講法也類似理論上這就是關於散度和旋度的所有內容了這兩個公式發明的目的只是為了要把原本電磁學的積分方程式轉換成微分方程式而已不過當我們獲得了描述電磁現象的偏微分方程組之後要利用它們來解問題時會有一些數學上的困難像是如果你要解一個圓柱體裡面的電場譬如你在圓柱共振腔或同軸傳輸線裡會遇到的狀況要用xyz的直角坐標來描述和求解都會很困難以圓柱為例根據對稱性最方便的場的分量是取r, theta, z三個方向因為場在半徑方向朝四面八方輻射的量應該是完全對稱的而位置也是以r, theta, z來表達是最自然的坐標所以我們的問題變成: 要怎麼樣寫出電場Er, Etheta, Ez的微分方程式? 當然沒有什麼是我們所不知道的就把它們代入Maxwell方程式就對了只是這當中的數學很繁複最後的結果也不容易記憶投影片10-13頁是舉個例子假定已經給你柱坐標底下的電場要怎麼把它代進直角坐標的微分方程裡面投影片14-16頁把這套程序應用到一般的情況底下寫出以柱坐標來表示的微分方程 (為什麼我用柱坐標為例? 因為它本質上就是極坐標是曲線坐標當中最簡單的例子從簡單而具體的例子出發你才能教會自己怎麼樣做一般性的情況千萬不要直接一來就做抽象的一般性問題) 投影片16頁我們得到一個重要的結論就是這樣看來曲線坐標系的種類是數不清的 --你有幾種邊界就會有幾種曲線坐標系! 你上wikipedia查"Cylindrical coordinate system" 底下就會列出相關的items 裡頭有一大堆其他各式各樣的坐標系而我們之所以發明了這麼多坐標系大都只是為了對付題目裡各種不同的幾何形狀! 接下來我們系統性的導出曲線坐標底下 divergence curl的一般式同樣的在做這件事之前我們先在一個最簡單的具體例子裡面練習就是柱坐標投影片19-22頁算出柱坐標的散度接著23-25頁--用相同的程序--找出一般式 25頁有一個最後結果的整理投影片26-31頁算出柱坐標的旋度前三頁是分別算三個不同方向的表面的環場積 (向量場對一個封閉曲線的積分) 真正有趣的是這三個結果怎麼結合起來你很少在書上看到他們解釋這個東西(我從來沒看過) 多半是把三個方向算出來以後就直接變成向量了重點是: why? 我幹嘛把它變成向量? 它的意義是什麼? 投影片29-31是在回答這個問題當你把三個基本的曲面拼在一起把三個結果代數相加起來(注意到這裡都還是純量而已) 這三個環場積的結果是: 共用邊的部分抵銷掉只剩下最外圍的邊界所以意思是說: 你把向量場對最外圍的這圈邊界做積分會得到這三項加起來的這個結果分別由三個微分的部分和三個面積相乘之後再相加很自然的你可以把這個結果看成是一種向量的內積微分的部分我們把它取個名字叫做curl 面積的部分就是一般性(朝任意方向)的面積向量所以這就是最一般性的結果了你把一個向量場對一個任意的封閉迴圈做積分會等於這個向量場的curl對迴圈包起來的面積做積分同樣的應用相同的程序你可以得到curl的一般式在投影片32-33頁投影片34-36整理之前的結果從37頁到最後是一些歷史是為了補償大家花這麼多時間學這種數學上的技巧這是有它的價值的大要是 (1)最原始的坐標系直角坐標是誰發明的在什麼情況下發明的 (2)第一個非直角坐標極坐標是誰發明的這代表什麼意義 (3)現在我們學的這種一般性的曲線坐標是誰發明的他為什麼要發明這距離人類發明第一個坐標系的時候多久這裡面特別有意思的是笛卡兒他對於直角坐標也就是解析幾何做了最重要的貢獻他當時的想法是歐幾里得的幾何學必須要靠巧思不同的問題就用不同的方法而代數呢又變得是在追逐一些越來越像是抽象藝術的公式但是他對於代數的價值非常了解那是人類最重要的發明之一因為代數可以把我們用口語所描述的問題換成數學的語言因此可以系統性的解決問題十個不同的應用問題換成數學之後都可以用相同的方法去解決所以代數創造了一種系統性的方法可以解決任何問題這是笛卡兒的遠見他把代數和幾何學融合在一起如此一來原本只和抽象的數字有關的代數可以應用在各種在研究自然科學時所遇到的曲線曲面上面使自然科學可以發展成一門定量科學牛頓在1671年就發明了極坐標和許多其他不同的平面坐標但是整個17和18世紀人們幾乎都還是只會使用直角坐標這件事的意義在於你只要能夠發明極坐標你就能夠發明各種其他的坐標因為發明的方法是一樣的你只要會一個就會其他的但是重點是你要先會想出這第一個如果你從來不曾想過要怎麼去做這第一個就更不用提其他的了而牛頓是怎麼想到的? 我猜他是在解行星軌道的時候想到的因為直角坐標底下這個問題是不能解的他必須要想辦法繞過這個障礙三度空間坐標(x, y, z) 在我們現在看來好像很直接但是當年經過了整整50年才被發明 La Hire絕對不是第一個想要怎麼寫三度空間坐標的人在他之前其他厲害的人物一定都想過所以為什麼是他? (我不知道) 而等到這個世界終於來到一般性的曲線坐標已經是200年之後的事情了一直到了19世紀 1833年才由某個叫做Gabriel Lame的人引進為什麼他會這樣做? 因為要解不同邊界底下的偏微分方程式這跟我們的出發點一樣我們是解電磁學的微分方程他是解熱傳播的微分方程所以我們現在在用的這些數學工具和技巧都不是輕易得來的不是某個人一時興起想出來的而是在遇到真實的問題的時候為了解決問題而被發明的這需要有好的想法和視野愛因斯坦曾經說過一句話我很喜歡所以把它背下來 "一個人如果能夠對於他所學習學科的歷史有所了解就比較能夠脫離他那個時代的局限而從這一點我們可以分辨一個人究竟只是一個工匠還是一個真理的追求者" (我真的是把它背出來的... 它的原文來自於高涌泉的"武士與旅人" --原文還是比較感人哈哈如下: 今天很多人甚至是專業科學家在我看來就像是看過上千株樹但卻沒見過森林的人科學家如果了解科學知識的歷史與哲學背景就能夠擁有某種獨立性讓他免於他那一時代多數科學家所陷入的偏見這種由哲學洞見所產生出來的獨立精神依我的意見可以區分一個人究竟僅僅是位工匠或專家還是一位真正的真理追求者) so, this is what I want to convey to you 希望可以讓你對曲線坐標能夠有一點感情謝謝 :) p.s. 謝謝你們當天的掌聲 ^^ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.19.155

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