[微優] Dedekind cut - 有理數系的分割(更正)
＊Rational number, the set Q 是全序集(totally ordered set)
Complex number,the set C 並非全序集
◎ 令 Q (有理數系) 分割成 A, B 兩個set
Q€A∪B, ( A∩B＝ψ ), A.B≠ψ
對所有的 x€A, y€B, 必然有 x＜y
( A│B ) 就叫做 Q 的一個 Dedekind cut
1.)若 max[A] 與 min[B] 皆存在, 此 cut 稱為一個 "jump" (躍斷)
但 Q 因其稠密性, 無法達成 jump,
Z (Integers 整數系) 因其離散性, 可達成 jump
2.)若 max[A] 與 min[B] 皆不存在, 此 cut 稱為一個 "gap" (間隙)
→無理數(irrational number)的確定, 即 Q 不完備性
3.)若 max[A] 或 min[B] 其一存在
→有理數(rational number)的確定
＝＞有理數與無理數 合稱 實數系 R (real number)
<ex> 利用 Dedekind cut 做一分割 (A|B) 確定實數√2 (為無理數)
Hint:(1) 若 b€Q, b＞0, 且b^2＞2
則可找到 q€Q, b＞q＞0 且 q^2＞2
(2) 若 a€Q, a＞0, 且a^2＜2
則可找到 p€Q, p＞a 且 p^2＜2
Ans: (1) 令 q＝(2+(2/b))/2, b＞q＞0, q^2＞2, 得證
(2) 令 p＝4/(a+(2/a)), p＞a, p^2＜2, 得證
PS.1.)此處暫不討論負數的問題 但其實並不影響此題運作
2.)利用到 A.M.(算數平均)≧G.M.(幾何平均)≧H.M.(調和平均)
○ 在 R (real number) 下, 做γ的 Dedekind cut (C|D), γ€R
必可找到γ= max[C]或 min[D], 即 R 沒有 "gap", 即實數系完備性
<HW> 利用 Dedekind cut 做一分割 (A|B) 確定實數7^(1/3) (為無理數)
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因為沒有真正的活著，所以也沒有純然的死亡
【I have been dead already.】
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※ 編輯: FosterIX 來自: 59.115.20.217 (10/15 16:55)
推
10/17 19:35, , 1F
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