[轉錄]Re: [微積] 何謂方向導數
※ [本文轉錄自 Math 看板]
作者: Babbage (驕傲體現於健忘) 看板: Math
標題: Re: [微積] 何謂方向導數
時間: Wed Jun 10 10:44:31 2009
※ 引述《john11894324 (維尼)》之銘言：
: 我想問的是何謂方向導數
: 我知道方向導數跟梯度間有一點關係
: 但都不了解它的"幾何意義"
: 有人可以稍做解釋嗎?
: 已經搜尋過之前的文章但仍不了解
: 何為它的幾何意義
: 如梯度向量指向哪?大小為何
: 方向導數與梯度有何關係
1. 方向導數=梯度向量與方向向量的內積 D_u f=▽f‧u
課本上都規定這個公式必須在方向向量u是單位向量時才會對，
但事實上這個公式對於長度不是1的向量也成立。
2. 當u=座標方向的單位向量時，方向導數=偏微分
例如三維時，D_(0,1,0) f = partial f/ partial y
如果不是單位向量就不成立，例如
D_(0,2,0) f≠partial f/ partial 2y
3. 梯度向量=f(x,y,z)的等高面或f(x,y)的等高線上的法向量
例如z=f(x,y)=x^2+y^2的梯度向量是(2x,2y)，並不是該曲
面上的法向量，而是它在xy平面上的等高線的法向量。
曲面上的法向量是(2x,2y,-1)。
4. 梯度向量指向函數增長最快的方向。
例如剛剛的例子中，如果在xy平面上考慮(3,5)這個點，往
(6,10)這個方向走，然後抬頭看上方的曲面，會愈來愈高。
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