[試題] 吳貴美微積分考古題92上期中考
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1. 用ε-δ法, 證明 lim ( x － 3x ) = -2
x→2
2. 求極限值
╴╴╴
(a) lim (√x － 9 + [ x + 1 ])
x→9+
╴╴╴╴╴ ╴╴╴╴╴
√1 + tanx － √1 + sinx
(b) lim ────────────────
x→0 x^3
1
(c) 設 f(x) = { x cos── , x≠0
{ x^2
{
{ 0 , x＝0
f(x) － f(0)
求 lim ──────── 並說明 f(x) 在 x = 0 是否連續
x→0 x
3. 設 f(x) = [x] + [-x], 其中 [x] 表示小於等於 x 的最大整數
(a) 問怎樣的 a 才能使 lim f(x) 存在, 並求此極限值. 又, f(x)的圖形為何?
x→a
(b) f(x) 在何處不連續?
4. 求導函數
╴╴╴╴╴╴╴ dy
(a) y = √ ╴╴╴╴ , 求 ──
x + √x + √x dx
1 (49)
(b) f(x) = ─── , 求 f (-2)
2－x
2
(c) 設 f(g(x)) = x , 且 f'(x) = 1 + [f(x)] ; 求 g'(2)
2 2 2 dy ∣
(d) 設 ( x + y )^2 = ax y , 求 ──∣ a a
dx ∣( ─, ─ )
2 2
5.(a) 試述 Roll's 定理, 並加以證明
(b) 試述均值定理
(c) 設 f(x), g(x) 在 [a,b] 連續, 在 (a,b) 可微
且 f(a) ＝ g(a) ; f'(x) < g'(x) , a < x < b,
試證 f(b) < g(b)
6. 詳細討論並畫出 f(x) 的圖形
x + 1
(a) f(x) = ╴╴╴╴
√x^2 + 1
x^3
(b) f(x) = ─────
x^2 － 1
╴╴╴╴╴╴
(c) f(x) = 3√x^2－3x－5
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