[試題] 109上 蔡宜洵 複分析導論 第一次小考
課程名稱︰複分析導論
課程性質︰數學系大三必修
課程教師︰蔡宜洵
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2020年10月08日(四)
考試時限：25分鐘，之後加了15分鐘。
試題 :
Complex Analysis
Quiz 1
1. Show that in polar coordinates, the Cauchy-Riemann equations take the form
∂u 1 ∂v 1 ∂u ∂v
---- = --- ----- and --- ---- = - ---- .
∂r r ∂θ r ∂θ ∂r
_
2. Find the value of ∫P(z) dz, where P(z) is a polynomial and C denotes the
C
circle |z-a| = R with positive orientation.
3. Let Ω⊆C be a connected open set and let f:Ω→C be a holomorphic function.
＿＿＿
If B (z0) ⊆ Ω, then prove the following inequality
R
(n) n!
|f (z0)| ≦ ----- || f || ,
R^n ∂B_R(z0)
where || f || := sup |f(z)|.
∂B_R(z0) z∈∂B_r(z0)
(n) n! f(ξ)
(Hint: Applying the Cauchy's integral formula f (z) = ------∮---------dξ.)
2πi C (ξ-z)^(n+1)
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