[試題] 105-2 鄭明燕 統計學導論 第三次小考
課程名稱︰統計學導論
課程性質︰數學系選修
課程教師︰鄭明燕
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2017/5/16
考試時限（分鐘）：50
試題 :
1.(24pt) 令{X } 為來自N(μ,100)的隨機樣本. 我們欲檢定H :μ=80 vs H :μ>80.
j j=1~25 0 1
_
令棄卻域(拒絕域; rejection region)C為{(x , x , ..., x )|x > 83}.
1 2 25
_
x 表示觀測值(x , x , ..., x )的平均.
1 2 25
(1)(8pt) 試求此檢定的檢定力函數β(μ). hint: 檢定力函數為棄卻虛無假設H 的
0
機率, 亦即你所觀測到的樣本落在棄卻域的機率.
= Pr((X , X , ..., X )∈C|X , X , ..., X ~ N(μ,100))
1 2 25 1 2 25
(2)(8pt) 犯下型Ⅰ錯誤(Type Ⅰ Error)的機率為多少?
hint:「型Ⅰ錯誤」 ... 於H 為真的情況下, 棄卻H 的錯誤.
0 0
(3)(8pt) μ = 86時, 犯下型Ⅱ誤差(Type Ⅱ Error)的機率為多少?
hint:「型Ⅱ錯誤」 ... 於H 為真的情況下, 不棄卻H 的錯誤.
1 0
2.(28pt) 令{X } 為獨立同態的隨機樣本, 且服從連續型分佈, 令f(x|θ)(x∈R)
j j=1..n
為其機率密度函數. 其中θ為未知參數, 我們欲檢定H : θ vs H : θ . 令棄卻域
0 0 1 1
n
Π f(x |θ )
j=1 j 1
C = {(X , X , ..., X ) | ---------------- > k}.
1 2 n n
Π f(x |θ )
j=1 j 0
{ 1; (X , X , ..., X )∈C
令 φ (X , X , ..., X ) = { 1 2 n .
C 1 2 n { 0; (otherwise)
設 k 使得 E[φ (X , X , ..., X )|H ] = α, (0 < α < 1).
C 1 2 n 0
*
此外, 我們考慮任意的檢定, 令其棄卻域為C . 同樣,
*
{ 1;(X , X , ..., X )∈C
令 φ (X , X , ..., X ) = { 1 2 n ,
* 1 2 n { 0; (otherwise)
C
且滿足 E[φ (X , X , ..., X )|H ] = α.
* 1 2 n 0
C
(1)(4pt) 檢定φ (and φ )的顯著水準為多少?
C *
C
hint: 在簡單假設下，「顯著水準」與犯下型Ⅰ錯誤的機率一致.
n n
(2)(8pt) 令 g = (φ - φ )(Π f(X |θ ) - kΠ f(X |θ )). 試證 g≧0.
C * j=1 j 1 j=1 j 0
C
(3)(8pt) 令β (θ ), β (θ ) 分別表示φ 與φ 的檢定力.
φ 1 φ 1 C *
C * C
C
試證β (θ ) ≧ β (θ ). hint: 考慮g的積分.
φ 1 φ 1
C *
C
(4)(8pt) 試敘Neyman Pearson's lemma為何. hint: (1), (2), (3)
3.(20pt) 令X為一個離散型的隨機樣本, 其分佈包含一個未知參數θ.
θ∈Θ={θ , θ , θ }. X的機率分布如下:
1 2 3
X 0 1 2 3 4
Pr(X|θ ) 0.00 0.05 0.05 0.80 0.10
1
Pr(X|θ ) 0.05 0.05 0.80 0.10 0.00
2
Pr(X|θ ) 0.90 0.08 0.02 0.00 0.00
3
我們欲檢定 H : θ∈{θ } vs H : θ∈{θ , θ }.
0 3 1 1 2
sup
θ∈{θ } Pr(X|θ)
3
(1)(4pt) 試求Λ(X) = ---------------------
sup Pr(X|θ)
θ∈Θ
(2)(8pt) 試導出顯著水準 α = 0.02 下的概似比檢定(Likelihood Ratio Test).
hint: 求k使得 Pr(Λ≦k|H ) = 0.02 以及 C 使得 X∈C <=> Λ(X)≦k.
0
(3)(8pt) 試求(2)所求的檢定之檢定力函數β(θ)(θ∈{θ ,θ }).
1 2
2 2
4.(28pt) 令{X } 為來自N(μ,σ )的隨機樣本, 其中θ為未知參數, σ 為已知.
j j=1~n
我們欲檢定H : θ = θ vs H : θ = θ (θ < θ ).
0 0 1 0 1
(1)(10pt) 試利用Neyman Pearson's lemma來求顯著水準為α的最強力檢定
(Most Powerful Test).
(2)(8pt) 試敘(1)所求的檢定是否為對於H : θ = θ vs H : θ > θ 的均勻
0 0 1 0
最強力檢定(Uniformly Most Powerful Test).
(3)(10pt) 試證均勻最強力檢定為不偏檢定.(Unbiased Test)
* { 1; (with probability α)
hint: 考慮隨機化檢定φ = {
{ 0; (with probability 1-α)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.249.201
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/NTU-Exam/M.1498194293.A.925.html