[試題] 105-2 鄭明燕 統計學導論 第二次小考
課程名稱︰統計學導論
課程性質︰數學系選修
課程教師︰鄭明燕
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2017/3/28
考試時限（分鐘）：50
試題 :
_ 1
1.(18pt) 設X , X , ..., X 為「獨立同態」(亦即iid)的隨機變數, 並令X = ---ΣX .
1 2 n n j
(1)(8pt) 關於X , X , ..., X , 試敘述「弱大數法則」(Weak Law of Large Number)
1 2 n
為何. 除了「獨立同態」之外, 成立「弱大數法則」需滿足哪些條件？
(弱大數法則有幾種版本, 你只要寫其中一個即可)
(2)(10pt) 試證你於(1)所述的「弱大數法則」.
1
提示:Chebyshev's inequality Pr(|X-μ|≧kσ) ≦ -----
2
k
iid
2.(27pt) 令Z , Z , ..., Z , ... ～ N(0,1).
1 2 n
(1)(4pt) 試利用{Z } 定義一個服從自由度n之卡方分佈的隨機變數.
j j=1, 2, ..
(2)(4pt) 試利用{Z } 定義一個服從自由度n之t分佈的隨機變數.
j j=1, 2, ..
(3)(4pt) 試利用{Z } 定義一個服從自由度m, n之F分佈的隨機變數.
j j=1, 2, ..
_ 1 n n _ 2
(4)(15pt) 試證 Z = --- Σ Z 與 Σ ( Z - Z ) 相互獨立.
n j=1 j j=1 j
_ _ _ _
提示:考慮(Z, Z - Z, Z - Z, ..., Z - Z)之聯合動差母函數.
1 2 n
→ →t→
提示2:多變量時的聯合動差母函數 = M (a) = E[exp( a X)]
→
X
3.(25pt) 設X , X , ..., X 為獨立同態的隨機變數. 已知其分佈之變異數
1 2 n
2
σ = V[X ] = 25, 你欲估計其分佈的期望值 μ = E[X ]. 若希望
j j
_ _
Pr(|X-μ|<1) ≧ 0.95, 換言之你所觀測到的 X 與真正的 μ 之誤差小於1的機率
要達到0.95以上, 你應收集多少樣本？（求最低的n）
(1)(15pt) 試利用中央極限定理(Central Limit Theorem)來估計最低的n.
2
-1 t=x -t
(你可以用Φ (x)來表示. Φ(x) = ∫ exp(---)dt)
t=-∞ 2
(2)(10pt) 試利用 Chebyshev's inequality 來估計最低的n.
請說明為何你得到的n比(1)更大.
4.(30pt) 考慮大小為N的有限母體. 我們從母體中以「取後不放回」的方式
(sampling without replacement)抽出n個樣本(X , X , ..., X ; n < N).
1 2 n
2 _ 1 n
已知其平均與變異數分別為 μ, σ . 令 X = --- Σ X .
n j=1 j
2
-σ
(1)(12pt) 試證COV[X , X ] = -----
1 2 N-1
_
(2)(6pt) 試求E[X].
_
(3)(12pt) 試求V[X].
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