課程名稱︰管理數學
課程性質︰必修
課程教師︰黃以達
開課學院：管理學院
開課系所︰財務金融學系
考試日期（年月日）︰101.10.26
考試時限（分鐘）：50
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
Part A (50%) (By TAs)
一、10% (True or False)
(1) (1,1,1) is perpendicular to (1,1,-2), so the planes x+y+z=0 and x+y-2z=0 a
re orthogonal subspaces.
(2) The subspace spanned by (1,1,0,0,0) and (0,0,0,1,1) is the orthogonal comp
lement of the subspace spanned by (1,-1,0,0,0) and (2,-2,3,4,-4).
(3) Two subspaces that meet only zero vector are orthogonal.
二、5% (True or False)
┴ ┴
(1) If V is orthogonal to W, then V is orthogonal to W .
(2) If v is orthogonal to W, and W is orthogonal to Z, then V is orthogonal to
Z.
三、10% (True or False) n
Consider the vectors in Euclidean space R , then
(1) The squared norm of a sum of orthogonal vectors is the sum of the squared
norms of the vectors
(2) If the inner product of u and v equals to zero, then at least one of the v
ectors is zero vector.
(3) The norm of a vector is always a positive real number.
四、5% ┌ 1+i ┐
Find the norm of the complex vector v where v=│ √2 │
└ 2-i ┘
五、20%
Find a basis for the orthogonal complement of the column space of A：
┌ 1 2 4 ┐
A= │ 4 9 17│
│ 0 3 3 │
└ 2 2 6 ┘
Part B (90%)
六、12% 請敘述下列名詞的定義
(1)6% 卡氏積。
(2)6% 內積空間。
七、10%
請證明相關係數必定介於1到-1之間。
八、10%
請證明實數上的柯西不等式。
九、18%
(1)6% 在笛卡兒的思想中，他所認為的「情緒空間」的基底是什麼？
(2)4% 請從笛卡兒的觀點去證明上帝的存在。
(3)2% 請將笛卡兒的墓誌銘填空：「笛卡兒，_________以降，第一個為人類真取與保證_
_______的人。」
(4)3% Cauchy 他曾站在天主教耶穌會的立場對抗科學院的理由是什麼？
(5)3% Cauchy的數學啟蒙老師是哪一位著名的數學家？
十、40%
請判斷下列對於四個基本子空間的敘述是否正確？並給予你判斷的理由。
1 0
(1)8% 存在一個3*2矩陣，其行空間包含(1), (0)，其列空間包含(1),(2)。
0 1 2 5
(2)8% 存在一方陣，其nullspace的維度大於left nullspace的維度。
(3)8% 存在一矩陣，其行空間等於列空間，但nullspace不等於left nullspace。
(4)8% 存在一矩陣，其行空間的正交補集恰好等於列空間。
(5)8% A、B兩矩陣的四個基本子空間都相同，則必存在一實數a使得 A=aB。
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