課程名稱︰管理數學
課程性質︰必修
課程教師︰黃以達
開課學院：管理學院
開課系所︰財務金融學系
考試日期（年月日）︰101.11.30
考試時限（分鐘）：180
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
台大財金系 第二次期中考試
Part A (15%)
A1、1%
以下關於巴契里耶(Bachelier)生平的敘述，正確的有幾項？
i. 為德國經濟學家兼數學家。
ii. 當年的博士論文極度優異，並獲得特優的殊榮。
iii.曾發表，波動幅度與時間的區間長短程比例關係。
iv. 論文曾一度遺失，直到1950年代才被薩謬爾意外在紐約大學發現。
(A)皆不正確 (B)一個正確 (C)兩個正確 (D)三個正確 (E)皆正確
A2、1%
請問右方這位最有可能是下列哪位重要人物年輕時的照片？
(A)費雪 (B)笛卡爾 (C)巴契里耶 (D)柯西
A3、1%
「我研究這六十年來的美國股價運動，我發現年平均的股價波動幅度是月平均股價波動幅
度的3.5倍。」請問這是哪一位學者利用美國資料驗證了巴契里耶對於股價波動的理論
看法？
A4、1%
某一台大研究生曾經發表他對於台大學生與星座的關係，他指稱，風象星座的人比較容
易上台大，而在一般的星座書上寫著，風象星座的人比較具有藝術氣息，且極富創造力。
請問：下列哪些重要的學者是風象星座的？
(Hint:風象星座為水瓶、雙子與天秤)
(A)費雪 (B)笛卡爾 (C)巴契里耶
A5、1%
解析幾何的生日是哪一天？
A6、1%
請寫出笛卡兒的墓誌銘。
A7、1%
笛卡兒可以說是現代科學的催生者。牠的《方法導論》一書中有三個附錄，為何在其第三
篇附錄，對後世的影響最大？理由是什麼？
A8、1%
根據問題集中的記載，以下關於笛卡兒的生平敘述，正確的有幾項？
i. 他的所有著作大部分都是在後期定居瑞典這20年中寫下來的。
ii. 曾獲得法律學位。
iii.著名的心臟線，是他寄給克莉絲汀中的第十四封情書之中。
iv. 早年時，習慣早上10點才起床。
(A)皆不正確 (B)一個正確 (C)兩個正確 (D)三個正確 (E)皆正確
A9、1%
根據問題集中的記載，笛卡兒他從邏輯學、幾何學、和代數學中發現了4條規則：
1.絕不承認任何事物為真，對於我完全不懷疑的事物才視為真理。
2.必須將每個問題分成若干個簡單的部分來處理
3.??????
4.我們應該時常進行徹底的檢查，確保沒有遺漏任何東西。
請問遺失的片段是什麼？
A10、1%
根據問題集中的記載，以下關於柯西的生平敘述，正確的有幾項？
i. 微積分嚴格化的第一人。
ii. 誕生的時間正逢法國大革命。
iii.由於宗教與政治信仰，他曾站在科學院的立場對抗天主教耶穌會。
iv. 他相信人有靈魂。
(A)皆不正確 (B)一個正確 (C)兩個正確 (D)三個正確 (E)皆正確
A11、1%
以下關於羅納德●愛爾默●費雪爵士的生平敘述，正確的有幾項？
i. 在家中排行老大。
ii. 曾被譽為「皮爾森最偉大的繼承者」。
iii.在愛情上，費雪與一位足足小他10歲左右的女孩艾琳結婚。
iv. 1925年，他的第一本書出版，書名為《實驗設計》，打下了基礎。
(A)皆不正確 (B)一個正確 (C)兩個正確 (D)三個正確 (E)皆正確
A12、1%
除了變異數分析以外，請寫出兩個費雪發明的統計概念。
A13、1%
右圖中的彩繪方格，是用以紀念費雪發明的變異數分析方法中的拉丁方陣。若想要親自
欣賞，請問要到哪間大學去參觀？(Hint:此為費雪的母校)
A14、1%
費雪在大學求學時期，由於對統計學的興趣，研讀了當時兩位著名的統計學家所發表的
論文，一位是皮爾森(Karl Pearson)，而另一位就是發明著名的T分配的學者，請問該位
統計學家的名字是什麼？
A15、1%
一次大戰爆發，費雪也希望能夠加入軍隊、投入沙場，為什麼隊最後他執行了他的第二選
擇，也就是放棄從軍的念頭改投入統計方面的工作？
Part B (85%) (Linear Algebra)
B1、3%(單選題)
水水與浩浩兩人有次在上管數課時，談論各自對於線性變換的看法。
2 2
水水說：不存在一種線性變換 T:R →R ，可將(2,6)→(0,1)以及(1,3)→(1,0)。
2 3
浩浩說：存在一種線性變換T:R →R ，可將(1,2)→(1,0,0)以及(1,3)→(0,1,0)以及
(2,7)→(0,0,1)。
根據他們倆人的說法，下列選項何者正確？
(1)只有水水說對 (2)只有浩浩說對 (3)兩人皆說對 (4)兩人皆說錯了
B2、3% (多重選擇題)
3 3 a 3
假設T:R → R 為一變換，以及v={b}∈R ，請問下列哪些可以為一線性變換？
c
a
(1) T(v)= v/∥v∥ (2) T(v)={ 2b } (3) T(v)=a+b+c (4) T(v)=max(a,b,c)
3c
B3、3% (多重選擇題)
假設 T:M (R) → M (R)，其中T(A)=A^T ∀A∈M (R)，請問下列敘述有哪些是正確的？
n*n n*n n*n
(1) 此T滿足線性變換的條件。
(2) T(T(A))=A
(3) Ker(T)=zero metrix
(4) 存在非零矩陣A∈M (R) ，使得T(A)=-A
n*n
B4、4% (多重選擇題)
設A為一個m*n的矩陣。請問下列敘述哪些是正確的？
(1) N(A^T)= N(AA^T)
(2) dim(RS(A)) = dim(CS(A^TA))
(3) N(A)與CS(A^TA)互為正交補集
(4) RS(A)=RS(A^TA)
B5、4% (多重選擇題)
請觀察下列這個五階的矩陣，請問那些敘述是正確的？
┌a11 a12 a13 a14 a15┐
│a21 a22 a23 a24 a25│
A= │ 0 a32 0 a34 0 │ aij∈R，aij≠0
│ 0 a42 0 a44 0 │
└ 0 a52 0 a54 0 ┘
(1) A的行列式值必不為零。
(2) Ax=0必定是無限多解。
(3) A^2一定是 singular矩陣。
B6、3% (Cloze)
Suppose the product of A and B is the zero matrix: AB=O. Then the (1)
5*7 7*9
space of A contains the (2) space of B . Also the (3) space of B
5*7 7*9 7*9
contains the (4) space of A . Thus, the sum of rank(A) and rank(B) is at most
5*7
(5).
(1) a. column b. row c. null d. left null
(2) a. column b. row c. null d. left null
(3) a. column b. row c. null d. left null
(4) a. column b. row c. null d. left null
(5) a. 5 b. 6 c. 7 d. 9
B7、8% (秩相關的證明)
設A為一個m*n大小的矩陣，B與C分別為m階與n階方陣且反矩陣皆存在。
(1)4% 請證明rank(A)=rank(A^T)=rank(AA^T)=rank(A^TA)
(2)2% 請證明 rank(BAC)=rank(A)
(3)2% 若進一步假設A的行向量彼此線性獨立，今定義P=A(A^TA)^(-1)A^T
請證明 rank(P)=tr(P)=n
B8、6% (行列式相關的證明)
設A、B為兩個n階方陣，請證明下列兩個事實。
(1)3% ∣AB∣=∣A∣∣B∣
(2)3% ∣A∣=∣A^T∣
B9、8% (最小平方法問題)
平面上有四點座標分別為(1,1)(4,4)(9,5)(16,6)，吾人想找一根式函數
y=a+b√x去通過此四點。
(1)1% 請將此問題轉成等價的線性方程組問題，並說明為何無解。
(2)5% 請求出a,b的最佳近似解。
(3)2% 請求出殘差平方和。
B10、6% (Haar Matrix)
┌1 1 1 1┐
H=│1 -1 1 -1│
│1 1 -1 -1│
└1 -1 -1 1┘
(1)3% Find H^-1
(2)3% Write v=(7,5,3,1)^T as a linear combination of the columns of H.
B11、8% (Gram-Schmidt 以及 QR分解)
┌2 0 3 ┐
A=│4 1 1 │
│5 2 -1│
└2 0 1 ┘
(1)4% 請利用Gram-Schmidt，求出A的行空間中的一組標準正交基底。
(2)4% 承上題，請求出對應的QR分解。
B12、6%(餘因子與伴隨矩陣)
┌0 5 0 -1 0┐
│5 -3 1 4 0│
A=│-7 8 3 5 2│
│0 9 -4 2 0│
└0 2 0 3 0┘
(1)3% 請求出 det(A)。
(2)3% 請求出 (A^-1)2,5的值。 (the (2,5) entry of A^-1)
B13、4% (線性相依時正規方程式之解的行為) m
已知一線性方程組為Ax=b。其中A為m*n矩陣，b為R 空間中的一個向量。
(1)2% 若A的行向量並非彼此線性獨立，請問正規方程式的解的行為可能為何？
(a) 無解 (b) 唯一解 (c) 無限多解
(2)2% 承上題，請寫出你判斷的理由及根據。
B14、6% (正交分解定理)
n ⊥
假設S為R 內的一個子空間，且維度為m，並設S 為S的正交補集。
n
(1)3% 請證明任何在R 內的向量x，皆存在唯一的一種分解方式:
⊥ ⊥ ⊥
x= s + s ，其中s∈S，s ∈ S (Hint:利用投影矩陣)
4
(2)3% 設S={(x1, x2, x3, x4)^T∈R ∣x1+2*x2-2*x3-x4=0 } 令x=(1,2,3,4)，請將x作
⊥ ⊥
正交分解，求出s與s 使得 x= s + s 。
B15、13% (模型適合度問題)
已知平面上有n個相異點，且至少有兩個點的x座標不同。假設他們的座標分別為(xi,yi)，
i=1,2,....,n，其中n≧2。今假設兩模型如下：
拋物線模型 X1β1=Y
直線模型 X2β2=Y
┌1 x1 (x1)^2 ┐ ┌1 x1┐ ┌ y1 ┐
其中X1= │1 x2 (x2)^2 │ ， X2= │1 x2│ ， Y= │ y2 │
│... ... │ │....│ │....│
│... ... │ │....│ │....│
└1 xn (xn)^2 ┘ └1 xn┘ └ yn ┘
┌ a ┐ ┌d┐
以及β1= │ b │，β2= │ │
│ c │ └e┘
└ ┘
令H1是用X1所建構的投影矩陣，H2是用X2所建構的投影矩陣。假設我們使用最小平方法去
獲得兩模型各自的參數估計，請回答下列問題。
(1)3% 請證明直線模型的殘差總和以及拋物線模型的殘差總和必定皆為零。
(2)3% 請證明直線模型的殘差平方和減去拋物線模型的殘差平方和等於 Y^T(H2-H1)Y
(3)3% 請證明 H1H2=H2 以及 H2H1=H2。
(4)2% 請證明 (H1-H2)為一良好定義的投影矩陣。
(5)2% 請證明 Y^T(H1-H2)Y必定是≧0。
Part C (50%) (Probability Theory) (每個答案1.5分)
iid ─ n ─
C1、設Xi ~ Ber(p)，定義 X = Σ Xi ，求 X 的期望值與變異數。
i=1
C2、設X以失敗次數所定義的負二項分配，即X~NB(r,p) ，求其mgf。
C3、X~HG(N,K,n) ，此為從有限母體中以抽出不放回的方式抽取n個物體，記錄來自關心
群的個數，其中N為母體內元素個數，k為關心群個數，則在此超幾何分配中，請問
有限母體校正因子的大小是?
C4、設X~Poi(λ)，求其mgf與偏態係數。
iid ─ n ─ ─ ─
C5、設Xi ~ Gamma(a,λ)，定義 X = Σ Xi ，請求 X - E(X)/√(Var(X)) 的變異數。
i=1
C7、設X~N(μ,σ^2) ，以及 Y~N(0,1) ，則kurtosis(X)-kurtosis(Y)=?
C9、請寫出自由度為一的卡方分配的機率密度函數。
C10、設Xi~χ^2(i) ， i=1,2,...6 ，且{Xi}內的隨機變數彼此統計獨立。
Y=X1-X2+X3-X4+X5-X6 請求 Var(Y)。
C11、設X~Lognormal(0,1) ，請寫出此對數常態分配的機率密度函數，並求出Var(X)
Skewness(X)。
C12、設X~Cauchy(0,1) 令Y=1/X ，求Y的cdf。
C14、有一函數描述如下 f(x)=c*x^4(1-x)^3, 0<x<1
則當c為多少時，可以使得此函數為一良好定義的機率密度函數。
計算題(必須附上計算過程)
C15、4% (管理學應用)
假設你是某間保險公司的精算師，公司要你做風險管控，而你根據公司過去的資料，發現
每年十二月的理賠案件金額，約服從指數分配，期望值為3(單位:萬元)，而理賠案件的次
數約服從Poisson分配，期望值為4。於是你寫成數學如下:設Xi為每件理賠金額，N為理
賠件數，其分別滿足 iid
Xi∣N =n ~ Exp(1/3)， N~Poi(4)
(1)2% 請計算十二月的理賠總金額之期望值 E(X1+X2+....+XN)=?
(2)2% 請計算十二月的理賠總金額之變異數 Var(X1+X2+...+XN)=?
C16、6% (行為財務應用)
有一種新奇的拍賣方式，參加者每人將自己的出價金額寫在紙上，以記名的方式投入一黑
箱，在所有人皆放入自己的紙條後，最後在開箱唱名，由出價最高者得標，但是卻以次高
價付款，身為拍賣會顧問的你，想要了解得標者的付款金額的隨機現象，因此你作了以下
的數學假設:
設Xi為每人出價金額(單位:千萬)，Y為得標者付款金額，並假設每人出價金額彼此獨立
且來自於相同的均勻分配U(0)，今共有十人參與投標。
(1)1% 請問的標者的付款金額可用統計學上的哪個統計量做描述？
(2)3% 請求出Y的機率密度函數，並說明此為哪個著名的機率分配。
(3)2% 請求出Y的期望值。
C17、4% (演算法應用)
呂育道教授曾在財務演算法的課程中介紹一種快速模擬出來自標準常態分配的隨機樣本
的方法，方式如下:
「先用電腦模擬12個來自均勻分配(0,1)的隨機值，緊接著將他們的和再扣掉6則你就會
得到一個很像是標準常態分配中所隨機抽取的一個數值。」
(1)1% 請解釋這種方法有何先天上的限制，也就是與常態分配不符合的地方？
(2)3% 請說明這種方法的理論想法是什麼?為什麼得出來的資料會接近標準常態分配的行為
C18、6% (物理學應用)
假設某一氣體分子的速度可用三個獨立且服從常態分配的隨機變數所描述，即
iid
V=(X1,X2,X3) 其中 Xi ~ N(0,σ^2) , i=1,2,3
今有一學者想研究此分子的速度大小，於是他想要求出V的範數之機率密度函數，故他定義
Y=∥V∥=√(X1^2+X2^2+X3^2)
(1)3% 設 W~ χ^2 (即自由度為3的卡方分配) ，請求出一常數c值使得F (y)=P(W≦c)
(3) Y
(2)3% 根據上一小題的提示，請求出Y的機率密度函數。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.230.120.59
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/NTU-Exam/M.1403687139.A.CEF.html
※ 編輯: d3osef (61.230.120.59), 06/25/2014 17:07:10
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06/25 22:42, 1F