[試題] 101-2 翁秉仁 微積分乙下 期中考
課程名稱︰微積分乙上
課程性質︰必修
課程教師︰翁秉仁
開課學院：
開課系所︰牙醫 藥學 醫技 物治 職治 農化 公衛
考試日期（年月日）︰2013/04/16
考試時限（分鐘）：120mins
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
■考卷共六頁。考試不能使用計算機。
■無論計算或證明題，皆應詳述過程、理由，未寫出詳細過程者，一律不給分。
1. y(t)滿足微分方程式t^2*y'(t)=-1+y(t)^2+y'(t), 且y(2)=1/2 ,求y(10) [16%]
2. 若點(a,0,a)在曲面x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=1上，求過(a,0,a)的切面方程式 [16%]
(注意：答案可能不只一個，且答案中不應出現a) z=__x+__y+__
3.已知三角形之面積公式可寫為A(a,b,θ)=absinθ/2
(A)求出A(a+Δa,b+Δb,θ+Δθ)之線性逼近公式 [6%]
(B)若有一直角三角形，兩股各為a與b。有人說：「若將兩股的夾角稍微變大或變小（或說
將兩股稍微張開或收合），則面積大致不變」請用（Ａ）說明這一點 [6%]
(C)...
4.有一函數f(x,y)=sin^-1(y/√x^2+y^2), x≠0且y≠0。回答下列問題：
(A)求在(1,3)點，沿著梯度▽f方向的方向導數 [8%]
(B)說明等高線疏密和梯度向量▽f的關係 [6%]
(C)用(B)的結果判斷在(A)題中，離原點越遠時，等高線的疏密狀態 [4%]
5.有一函數f(x,y),x=rcosθ,y=rsinθ,且令g(r,θ)為前述函數之合成函數，求出完整之
dg(r,θ)/dr 與 dg(r,θ)/dθ 公式 (原本應該是偏微分的符號) [16%]
6.若y"(t)=4y(t),且y(0)=1,y'(0)=-2,求y(t)，先寫成泰勒展式的形式，再將它寫成你
熟悉的函數 [16%]
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