[試題] 101上 林惠玲 統計學(上) 期末考
課程名稱︰統計學與實習(一)
課程性質︰必修
課程教師︰林惠玲
開課學院：社會科學院
開課系所︰經濟系
考試日期（年月日）︰2013.01.08
考試時限（分鐘）：160分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
註：希臘字母都打不出來，所以用發音代表，有大寫的代表大寫希臘字母
一、[16%] 問答題
1.設Ｘ為統計學課本的需求(本)，Ｙ為其價格(元)，Ｚ為其所得(元)，均為隨機變數
，下列敘述是否正確？
(1)若Ｘ與Ｙ的計量單位改變，Ｘ改為千本，Ｙ改為百元，則rho(xy)會有何改變？
(2)若Ｙ＝a+bＸ+cＺ，則rho(xy)會等於1嗎？理由。
(3)若E(X|Z)=E(X)，V(X|Z)=V(X)，則所得與統計學課本的需求是否獨立？
2.設Ｘ為一隨機變數，其平均數與變異數分別為mu與sigma^2，均為未知。今隨機抽取
一組大樣本，X1、X2...Xn，試求a+b*mu的(1-alpha)的信賴區間。
3.請問機率抽樣方法有哪些？現若想了解台大學生一星期讀書的時間，請問你要利用
何種抽樣方法？理由？
二、[15%] 大學教育中，在校學生與畢業學生對老師的教學評鑑日益重要，且此評鑑已成
為選拔優良教師的重要指標之一。教師評鑑中有一條綜合問項，＂請問你對老師的教
學整體是否滿意？＂，滿意為1，不滿意為0，假設畢業學生的滿意度為70%，請回答下
列小題：
1.隨機抽取10位學生，滿意度超過80%的機率為何？
2.隨機抽取100位學生，滿意度超過80%的機率為何？
3.承題2，抽樣誤差小於5%的機率為何？
4.現林同學隨機抽取100位學生，得知回答＂滿意＂的同學有78人，試估計滿意度的
95%信賴區間。
5.在95%的信賴區間下，若林同學希望抽樣誤差在4%內，請問他要抽取幾個樣本？
三、[15%] The woner of a restaurant that serves continental food wants to study
characteristics of customers of his restaurant. In particular, he decides
to focus on three variables: the amount of money spent by customers,
whether customers order dressert and the variance of money spent by
customers. The results from a sample of 25 customers are as follows:
˙Amount spent: Xbar=$38.54, S=$7.26
˙10 customers purchased dessert.
1.Set up a 95% confidence interval estimate of the population mean amount
spent per customer in the restaurant.
2.Set up a 90% confidence intervalestimate of population standard deviation
of amount spent per customer in the restaurant.
3.What assumptions are necessary to ensure the validity of the confidence
interval?
4.If the owner wants to have 95% confidence of estimating the population
mean amount spent in his restaurant to within +-$1.50 and the standard
deviation is assumed to be $8, what sample size is needed?
5.If the population standard deviation is $10, what is the probability of
s^2 greater than $138.3?
四、[18%] 設X1,X2,...,Xn為抽取自指數分配的隨機樣本，指數分配如下：
f(X;theta)=(1/theta)exp(-x/theta)
請回答下列小題：
1.利用最大概似估計法求E(X)=theta與V(X)=theta^2的估計式。(未學過微積分者，請
利用動差法求theta與theta^2之估計式並利用MME回答2.3.4小題)
2.theta與theta^2的最大概似估計式(MLE)是不偏誤差估計式嗎？理由。若為偏誤估計
式請求不偏誤估計式。
3.theta與theta^2的MLE是一致估計式嗎？理由。
4.試求theta與theta^2的MLE之漸進分配。
5.試求theta與theta^2在CC=1-alpha下之信賴區間。
五、[12%] Let X1,X2,...,Xn be a random sample with E(Xi)=mu, V(Xi)=sigma^2
1.Show that sigmahat^2=(1/n)Sigma((xi-xbar)^2) is biased estimator for
sigma^2 where s^2=1/(n-1)*Sigma((xi-xbar)^2) is unbiased estimator for
sigma^2.
2.If xi is a normal distribution
(1) Find V(sigmahat^2)
(2) Show that V(s^2)<V(sigmahat^2)
六、[9%] Let X1,X2,X3,X4,X5 be a random sample for a normal population with
mean 0 and variance 1.
Let xbar=1/5*Sigma(xi).Let X6 is another independent observation from
same population.
1. What is the distribution of W=Sigma(i=1~5)xi^2, why?
2. What is the distribution of U=Sigma(i=1~5)(xi-xbar)^2, why?
3. What is the distribution of sqrt(5)*X6/sqrt(W), why?
未學過微積分者請回答第八題
七、[15%]令X1與X2的聯合機率密度函數為f(x1,x2)=2，0< x1< x2<1。
註：E(X1)=1/3，V(X1)=1/18，E(X2)=2/3，V(X2)=1/18
(沒有推導過程的正確答案，視同零分)
1. 求機率P(0< X1 <0.5)
2. 求條件機率P(0< X1 <0.5|X2=0.75)
3. 求條件期望值E(X1|X2)及條件變異數V(X1|X2)
4. 驗證EE(X1|X2)=E(X1)=1/3，以及V(X1)=E[V(X1|X2)]+V(E[X1|X2])=1/18
5. 試求X1與X2的共變數與相關係數
八、[15%]某地區丈夫所得(X)與妻子所得(Y)的聯合機率如下
X 10 15 20
Y 5 0.1 0.1 0
10 0.2 0.2 0.2
15 0 0.1 0.1
註：已計算得知E(X)=15，V(X)=15，E(Y)=10，V(Y)=10
1.試求f(X|Y=10)的條件機率及求E(X|Y=10)，V(X|Y=10)，並解釋與E(X)，V(Y)差異的
原因。
2.丈夫與妻子所得的關係如何？程度如何？
3.現政府對丈夫與妻子所得分別課稅如下：
T1=0.2*(X-5)，T2=0.1*Y
試求政府的平均稅收與稅收變異數
4.令S=X+Y，T=T1+T2，試求Cov(S,T)。
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01/24 21:59, , 1F
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