[試題] 99上 陳金次 高等微積分一 第二次期中考
課程名稱：高等微積分一
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2010/12/05
考試時限（分鐘）：18:00 ~ 21:00
是否需發放獎勵金：是
甲：第一部分(以下六題全做，每題10分)
1. A = [0,1] X [0,1], S = {(x,y) | x, y為[0,1]中有理數}則S可數，可令S = {x1,
x2,...}其中Xn = (xn, yn)。因S在A中稠密，故對任意ε> 0，集合
F:={B_(ε/(2^n))(Xn) | Xn 屬於 S}
蓋住了A。試問：上述結論正確嗎？詳述其理由。
2. l^2 = {x|x = (x1,x2,x3,...), xn屬於R，Σxn^2 < ∞}。
定義||x||_2 = (Σxn^2)^0.5。令A = {x| x屬於 l^2, ||x||_2 < 1}, 因為A為
bounded and closed,故A為compact。
試問：上述結論正確嗎？詳述其理由。
3. (X, d) 為 compact metric space, A 包含於 X 為closed，則A為compact。試證之。
4. connected ≠> path connected，試舉一例說明。
5. S = {1/i + 1/j| i, j 為正整數}為可數，可令S = {a1, a2, a3,...}試求
limsup(n->∞)an 及 liminf(n->∞)an。
6. 判斷下列二級數是否收斂
(a) ∞
Σ(n(ln(n))^p)^(-1), p > 1
n=2
(b) ∞
Σ n^(-p)sin(x/n), p > 0
n=1
乙：第二部分(以下六題，任選五題)
7.(20分)
(a)試證lim(p->∞)(|a1|^p + |a2|^p + ... + |an|^p)^(1/p) = max{|a1|, |a2|,
..., |an|}
(b)若f在[a,b]上連續，M = max(a≦x≦b)|f(x)|。試證明：
b
lim(∫|f(x)|^p dx)^(1/p) = M
p->∞ a
8.(30分)
A包含於R^n，試證A為compact <=> A 為 bounded and closed
9.(20分)
f(x) = { e^(-1/x) x > 0, X = [0,∞)
{ 0 x = 0
定義d(x,y) = |f(x) - f(y)|, for all x, y屬於X
(a)試證明：(X,d)為一metric space。
(b)問(X,d)是否為complete metric space？(即任意Cauchy sequence收斂)
10.(20分)
f在[a,b]上連續，試證f在[a,b]上均勻連續。
11.(25分)
(a) f(x)=(1 + 1/x)^x，試證明f在(-∞,-1)∪(0,∞)上為嚴格遞增
(b) lim(n->∞)ε_n = 0，試證lim(n->∞)(1 + ε_n/n)^n = 1
(c) p屬於R，求lim(n->∞)(1 + n^(-p))^n，試就p之值討論之。
12.(25分)
(a) A,B皆為compact，試證A + B亦為compact。
(b) A為compact，B為closed，試證A + B為closed。
(c) 試舉一例，A、B皆為closed，但A + B並非closed。
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