[試題] 99上 陳金次 高等微積分一 第一次期中考
課程名稱：高等微積分一
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2010/10/30
考試時限（分鐘）：180分鐘
是否需發放獎勵金：是
甲：第一部分(以下六題全做，每題10分)
1. 請寫出下列敘述的否定命題
(a)「每年秋天，寒露過後，北插天山上的山毛櫸一片金黃，吸引無數登山客造訪，
每個登山客無不拍下照片或撿幾片葉子回家當作紀念。」
(b)"for all ε > 0, 存在δ > 0 s.t. |f(x) - f(y)| < ε當|x - y| < δ,
x, y屬於[a, b]"
2.比較a = 1000000^1000000 及b = 1000001^999999的大小
3."lim(x->a)f(x) = l" <=> "lim(n->∞)f(xn) = l, for all sequence xn ≠a,
xn -> a"
4.f(x) = { (x^2)sin(1/x) x ≠ 0
{ 0 x ＝ 0 x 屬於 (-1, 1)
試證明f在(-1, 1)上處處可導，但f'在x = 0不連續。
5.給定a1, a2, ..., an屬於C為複數。試決定r > 0，使
|z^n|>|an-1 * z^(n-1) + an-2 * z^(n-2) + ... + a0|, for all |z| > r, z 屬於 C
6.x = (x1, x2), y = (y1, y2)。定義|x - y| = ((x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2)^0.5,
我們稱點列xn = (x1,n , x2,n)收斂到x0 = (x1,0 , x2,0)若lim(n->∞)|xn - x0| = 0
。設{xn}為R^n中的有界點列，試證明：{xn}有收斂得子點列
乙：第二部分(以下六題，任選五題)
7.(20分)試就Cauchy的ε - δ論述，證明lim(x->2)x/(x^2+5)^0.5 = 2/3
8.(20分)ξ為實數，ξ≠0。試依時數的建構，證明存在實數ζ，使ξζ=1。(不妨設ξ>0)
9.(20分)Fibonacci數列：{an|a1 = 1, a2 = 1, ak+2 = ak+1 + ak} = {1,1,2,3,5,8...}
定義{xn} = {an+1/an} = {1,2,3/2,5/3,8/5,...}。試證明lim(n->∞)xn存在。
10.an = (1 + 1/n)^n，已知an遞增至e。試證：
(8分)(a)lim(x->∞)(1 + 1/x)^x = e, x > 0
(8分)(b)lim(x->∞)(1 - 1/x)^x = 1/e, x > 0
(9分)(c)lim(x->∞)(1 + a/x)^x = e^a, a為實數
11.(25分)C[0,1] = {f|f為定義在[0,1]上的實連續函數}，試證明#C[0,1] = #[0,1]
12.(30分)f為定義在[0,1]上的實函數，若[0,1]上的每一點都是f的極小點。試證：f的
值域最多可數。
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