[試題] 97下 楊維哲 微積分甲下 期中考
課程名稱︰微積分甲下
課程性質︰系必修
課程教師︰楊維哲
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2009年4月23日
考試時限（分鐘）：110分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
A. Let S1 be a unit circle in R^2, a=(1,0), and S2 the unit sphere in R^3.
(a) (30 points) Compute ∮ log(|x-a|)dl, where dl is the length element.
S1
k
(b) (10 points) Compute ∮ |x-a| dA, where k is any integer, dA the area
S2
element.
x 是S1或S2上的點，b小題的a是(1,0,0)。
B. Compute the following line integrals.
y x
(a) (10 points) ∫ --------- dx - --------- dy, Γ is given on black board.
Γ x^2+y^2 x^2+y^2
Γ: r=1+(1/2)sin(3θ/4), 0≦θ≦4π
(b) (10 points) ∫ (x^2+y)dx+(x-y^2)dy, Γ: x^2/4 + y^2/5 = 1.
Γ
(c) (10 points) ∫ (x^2+y^2)dl, Γ: x=cos(t)+sin(t), y=sin(t)-cos(t),
Γ
0≦t≦2π.
(d) (10 points) ∫ |y|dl, Γ: r = exp(3θ), -∞≦θ≦0.
C. Compute the integrals ∫ u‧dl, where u and Γ are given.
Γ
(a) (10 points) u=(3x^2+6y)i-14yzj+20xz^2k, Γ: x=t, y=t^2, z=t^3, 0≦t≦1.
(b) (10 points) u=(4x^3 cos(y)-y^3 exp(-x))i+(3y^2 exp(-x)-x^4 sin(y))j,
Γ is given on black board.
綠色的基本上是向量(場)
Γ是兩個同心圓(圓心在原點)中間用線連起來，就像粗體 C 的外框。
D. (15 points) Find the value of ∫∫∫(x^2+5y^2+2z^2+4xy+2yz+1) dxdydz,
D
where D: (x+2y)^2+(y+z)^2+z^2≦1.
E. (15 points) Find all critical points of f(x,y)=xsin(y) in R^2, Are this
points local maxima, local minima, or saddle?
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